Um reator nuclear converte urânio U-238 no isótopo de plutônio P u-239. Após 15 anos foi determinado que 0,043 % da quantidade inicial de plutônio desintegrou-se. Considerando que Q0 era a quantidade inicial de P u-239, e que a razão de desintegração é proporcional a quantidade restante, é correto afirmar que a equação que descreve este fenômeno, bem como a constante de decaimento ( r ), e o tempo de meia-vida do P u-239(t0) são respectivamente: Q^prime(t)=r Q(t), Q(0)=Q0 ; r=ln (1000) / 0,99957 ; t0=ln (15) / r.

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo, que obedece a uma lei de crescimento/decrescimento proporcional à quantidade presente. Chamando de Q(t) a massa de ,Pu!-!239 no tempo t (em anos) e Q0 a massa inicial, a equação diferencial é
Q'(t)=r,Q(t),
com condição inicial
Q(0)=Q0
Sabemos que depois de 15 anos se desintegrou 0,043% de Q0, ou seja, restou
Q(15)=Q0l(1-0,00043r)=0,99957,Q0

Passo 2

A solução geral da equação diferencial é
Q(t)=Q0e^r,t
Substituindo t=15 e igualando a 0,99957,Q0 obtemos
Q0e^15r=0,99957,Q0 Longrightarrow e^15r=0,99957

Passo 3

Tomando logaritmo natural,
15,r=lnl(0,99957r) Longrightarrow r=115,lnl(0,99957r)
Note que ln(0,99957)<0, então r é negativo, como deve ser num decaimento.

Passo 4

O tempo de meia-vida t0 satisfaz Q(t0)=Q0/2, isto é,
e^r,t0=tfrac12 Longrightarrow t0=ln!(1/2)r =-ln 2r

Resposta

A equação correta e os parâmetros são
Q'(t)=r,Q(t), Q(0)=Q0; r=115,lnl(0,99957r); t0=-ln 2r
Numericamente,
rapprox -2,867times10^-5,ano^-1, t0approx 2,42times10^4,anos

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