Um reator nuclear converte urânio
no isótopo de plutônio
. Após 15 anos foi determinado que
da quantidade inicial de plutônio desintegrou-se. Considerando que
era a quantidade inicial de
, e que a razão de desintegração é proporcional a quantidade restante, é correto afirmar que a equação que descreve este fenômeno, bem como a constante de decaimento (
), e o tempo de meia-vida do
são respectivamente:
.
Passo 1
O enunciado trata de decaimento radioativo, que obedece a uma lei de crescimento/decrescimento proporcional à quantidade presente. Chamando de
a massa de
no tempo
(em anos) e
a massa inicial, a equação diferencial é
com condição inicial
Sabemos que depois de
anos se desintegrou
de
, ou seja, restou
Passo 2
A solução geral da equação diferencial é
Substituindo
e igualando a
obtemos
Passo 3
Tomando logaritmo natural,
Note que
, então
é negativo, como deve ser num decaimento.
Passo 4
O tempo de meia-vida
satisfaz
, isto é,
Resposta
A equação correta e os parâmetros são
Numericamente,