Qual das alternativas representa todos os pontos ( x0, y0 ) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d yd x=raizx^2-y^2, y(x0)=y0; tem uma única solução? nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
dydx=raizx^2-y^2, y(x0)=y0
Para garantir existência e unicidade de uma solução local usamos o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige que
1. f(x,y)=raizx^2-y^2 seja contínua numa vizinhança de (x0,y0), e
2. partial f/partial y seja também contínua nessa vizinhança (para ter Lipschitz em y).

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio onde f está definida como número real:
x^2-y^2>=0 Long<=ftrightarrow |y|<=|x|
Em qualquer ponto com |y|<|x|, f é uma função contínua de (x,y).

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(x^2-y^2r)^1/2 =-yraizx^2-y^2
Esse quociente é bem– definido e contínuo exatamente quando o denominador não é zero, ou seja, quando
x^2-y^2>0

Passo 4

Pelo Teorema de Picard–Lindel"of, existência e unicidade são garantidas se (x0,y0) pertencer à região onde tanto f quanto partial f/partial y são contínuas. Isso equivale ao interior da “borboleta” definida por
x^2-y^2>0,
ou seja,
|y0|<|x0|

Resposta

(x0,y0)mid x0^2-y0^2>0

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