Determine tildea(z), onde:
an=sin (omega n), omega in C

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Z unilateral
tildea(z)=sumn=0^infty an,z^-n
da sequência an=sin(omega n).
Vamos usar a representação de seno em termos de exponenciais e a soma de série geométrica.

Passo 2

Escrevemos
sin(omega n)=e^iomega n-e^-iomega n2i

Passo 3

Substituindo na definição da transformada de Z:
tildea(z) =sumn=0^infty sin(omega n),z^-n =12isumn=0^inftyl(e^iomega n-e^-iomega nr)z^-n =12il(sumn=0^infty (e^iomegaz^-1)^n -sumn=0^infty (e^-iomegaz^-1)^nr)

Passo 4

Pela fórmula da série geométrica sumn=0^infty r^n=1/(1-r) (válida se |r|<1):
sumn=0^infty (e^pm iomegaz^-1)^n =11-e^pm iomegaz^-1
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tildea(z) =12il(11-e^iomegaz^-1 -11-e^-iomegaz^-1r)

Passo 5

Note que
11-e^pm iomegaz^-1 =z,z-e^pm iomega,
e que e^iomega-e^-iomega=2isin(omega). Unindo tudo:
tildea(z) =12il(zz-e^iomega-zz-e^-iomegar) =z,(e^iomega-e^-iomega)2i,[z^2-z(e^iomega+e^-iomega)+1] =zsin(omega),z^2-2zcos(omega)+1,

Resposta

tildea(z) =zsin(omega),z^2-2zcos(omega)+1,,
com região de convergência lvert zrvert>1.

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