Com relação ao problema de valor inicial t y^prime+2 y=sen(t) / t, y(pi)=0; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: mu(t)=t ; y(t)=sen(t) cos (t) / t^2.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de 1ª ordem
t,y' + 2y = sin(t)t, y(pi)=0
O conteúdo é fator integrante para EDOs lineares de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y' + 2t,y = sin(t)t^2
Aqui P(t)=2/t, logo o fator integrante é
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(integral 2t,dtr) = expl(2ln tr) = t^2

Passo 3

Multiplicando toda a EDO por mu(t)=t^2 obtemos
t^2 y' + 2t,y = sin(t),
e reconhecemos o lado esquerdo como
ddtl(t^2 yr) = sin(t)
Integrando ambos os lados em relação a t,
t^2 y = integral sin(t),dt = -cos(t) + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(pi)=0:
pi^2cdot 0 = -cos(pi) + C ;Longrightarrow; 0 = -(-1) + C ;Longrightarrow; C = -1
Portanto
y(t) = -cos(t) - 1t^2 = -cos(t)+1t^2

Resposta

Não. O fator integrante correto é mu(t)=t^2 e a solução satisfazendo y(pi)=0 é
y(t) = -cos(t)+1t^2

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