Questão 1 (8 pontos). Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
lim (x, y) (0,0) sen(x^2)2 x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)senl(x^2r)2x^2+2y^2
O conteúdo aqui é investigação de limite em duas variáveis, em particular usando coordenadas polares ou estudo por caminhos para verificar existência ou não do limite.

Passo 2

Mudamos para coordenadas polares, definindo
x = rcostheta, y = rsintheta, rto0^+
Então
2x^2+2y^2 = 2r^2(cos^2theta+sin^2theta)=2r^2,
e o numerador fica
senl(x^2r)=senl(r^2cos^2thetar)
Logo a função é
f(r,theta) =senl(r^2cos^2thetar)2r^2 =underbracesenl(r^2cos^2thetar)r^2cos^2thetato1 quando rto0 ;cdot;cos^2theta2

Passo 3

Como limuto0sen uu=1, no nosso caso u=r^2cos^2thetato0 quando rto0. Portanto
limrto0f(r,theta) =;1;cdot;cos^2theta2 =cos^2theta2

Passo 4

O valor cos^2theta2 depende do ângulo theta. Por exemplo,
– se theta=0 (trajetória y=0), obtém-se tfrac12;
– se theta=pi/4 (trajetória y=x), obtém-se tfrac14.
Como o limite depende do caminho, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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