Qual das alternativas representa todos os pontos ( x0, y0 ) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d yd x=raizx^2-y^2, y(x0)=y0; tem uma única solução? x0>|y0| ou x0<-|y0|.

Passo 1

O enunciado pede a regi~ao de exist^encia e unicidade para o problema de valor inicial
dydx = raizx^2 - y^2, y(x0)=y0
O conte’udo `e o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige que a fun\c{c}~ao
f(x,y) = raizx^2 - y^2
e sua derivada parcial partial f/partial y sejam cont’inuas em torno de (x0,y0).

Passo 2

Identificamos o domínio de f. Para que raizx^2 - y^2 seja real, precisamos de
x^2 - y^2 >= 0
Para as hipóteses de unicidade, precisamos ainda que f seja C^1, isto é, x^2 - y^2>0.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y = partialpartial yl(raizx^2 - y^2r) = -yraizx^2 - y^2
Essa expressão é contínua exatamente onde x^2 - y^2>0.

Passo 4

Concluímos que f e partial f/partial y são contínuas em cada região onde
x^2 - y^2 > 0
Essas regiões se dividem em dois componentes conexos:
(i) x > lvert yrvert, (ii) x < -lvert yrvert
Em qualquer um desses componentes, o teorema garante existência e unicidade locais.

Resposta

Todos os pontos (x0,y0) tais que
x0^2 - y0^2 > 0,
isto é,
x0 > lvert y0rvert ou x0 < -lvert y0rvert

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