Com relação ao problema de valor inicial t y^prime+2 y=sen(t) / t, y(pi)=0; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: mu(t)=t^2 ; y(t)=t^-2(cos (t)+1) / 2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t,y' + 2,y = sen(t)t, y(pi)=0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Precisamos encontrar o fator integrante mu(t) e depois resolver para y(t), aplicando a condição inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + 2t,y = sen(t)t^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 2t,dtr) = exp(2ln t) = t^2

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(t)=t^2 obtemos
(t^2y)' = t^2cdotsen(t)t^2 = sen(t)
Integrando em t,
t^2,y = integral sen(t),dt = -cos(t) + C
Logo a solução geral é
y(t) = -cos(t) + Ct^2

Passo 5

Impondo y(pi)=0 temos
0 = -cos(pi) + Cpi^2 = -(-1) + Cpi^2 = 1 + Cpi^2 Longrightarrow C = -1
Portanto
y(t) = -cos(t) + 1t^2

Passo 6

Comparando com a afirmação proposta, vemos que mu(t)=t^2 está correta, mas a expressão sugerida para y(t) não bate com
y(t) = -cos(t)+1t^2

Resposta

A afirmação é falsa: o fator integrante mu(t)=t^2 está certo, mas a solução correta é
y(t) = -cos(t) + 1t^2

Exercícios relacionados