Com relação ao problema de valor inicial t y^prime+2 y=sen(t) / t, y(pi)=0; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
t,y' + 2,y = sin(t)t, y(pi)=0
Isso é um ODE linear do tipo
y' + p(t),y = q(t),
onde vamos precisar identificar p(t) e q(t), calcular o fator integrante mu(t) e então achar a solução geral, impondo por fim a condição y(pi)=0.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por t (supondo tneq0):
y' + 2t,y = sin(t)t^2
Aqui temos
p(t)=2t, q(t)=sin(t)t^2

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t)=expl(integral p(t),dtr) =expl(integral 2t,dtr) =expl(2ln|t|r) =t^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^2, obtemos
t^2 y' + 2t,y = sin(t),
que é exatamente
ddtl(t^2,yr)=sin(t)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2,y = integral sin(t),dt = -cos(t) + C,
logo a solução geral é
y(t)=-cos(t)+Ct^2

Passo 6

Impondo a condição inicial y(pi)=0:
0 = y(pi) = -cos(pi)+Cpi^2 = -(-1)+Cpi^2 = 1+Cpi^2 ;Longrightarrow; C=-1

Passo 7

Substituindo C=-1 na solução geral, vem
y(t)=-cos(t)-1t^2 =-cos(t)+1t^2

Resposta

O fator integrante e a solução do problema de valor inicial são, respectivamente:
mu(t)=t^2, y(t)=-cos(t)+1t^2

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