Calcular a derivada direcional do campo escalar f(x, y)=x^2+y^2, em P(2,1) na direção de v=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+y^2 no ponto P(2,1) na direção do vetor vec v = (-1,2). Para calcular uma derivada direcional num campo escalar usamos o gradiente de f e fazemos o produto escalar com o vetor unitário que indica a direção.

Passo 2

Calcular o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(2x,,2yr)
Em P(2,1) temos
nabla f(2,1) = (4,,2)

Passo 3

Obter o vetor unitário vec u associado a vec v. Primeiro a norma de vec v:
|vec v| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz5
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vec u = vec v|vec v| = l(-tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r)

Passo 4

A derivada direcional de f no ponto P na direção de vec v é
Dvec uf(2,1) = nabla f(2,1)cdot vec u = 4cdotl(-tfrac1raiz5r) + 2cdotl(tfrac2raiz5r) = -4 + 4raiz5 = 0

Resposta

A derivada direcional é 0.

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