A que altitude acima da Terra a gravidade reduz-se a 90 \% do valor na superfície?

Passo 1

O enunciado pede a altitude h acima da superfície da Terra em que a gravidade vale 90\% do valor na superfície. Vamos usar a lei de variação da gravidade com a distância ao centro da Terra.

Passo 2

A aceleração da gravidade a uma distância r do centro da Terra é
g(r)=g_0\Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^2,
onde R é o raio da Terra e g_0 é a gravidade na superfície r=R. Para uma altitude h, a distância ao centro é r=R+h.

Passo 3

Queremos que
g(R+h)=0{,}9\,g_0,
ou seja
\frac{g(R+h)}{g_0} =\Bigl(\frac{R}{R+h}\Bigr)^2 =0{,}9.

Passo 4

Tomando raiz quadrada em ambos os lados,
\frac{R}{R+h}=\sqrt{0{,}9}.
Invertendo e isolando h,
R+h=\frac{R}{\sqrt{0{,}9}}, \quad h=R\Bigl(\frac{1}{\sqrt{0{,}9}}-1\Bigr).

Passo 5

Usando R=6{,}37\times10^6 m,
h=6{,}37\times10^6\Bigl(\frac{1}{\sqrt{0{,}9}}-1\Bigr)\text{ m} \approx6{,}37\times10^6\times0{,}053\text{ m} \approx3,38\times10^5\text{ m}.

Resposta

A altitude é aproximadamente 3,4\times10^5 metros (cerca de 340 km).

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