Um satélite orbita a Terra em órbita elíptica com excentricidade e=0.6 e semi-eixo maior a=8.000 \mathrm{~km}. Calcule sua velocidade no perigeu.

Passo 1

O enunciado dá uma órbita elíptica de excentricidade e=0{,}6 e semi-eixo maior a=8 000 km, e pede a velocidade no perigeu. O conteúdo aqui é mecânica orbital: vamos usar a equação de vis-viva, que vem da conservação da energia mecânica para um corpo em órbita ao redor da Terra.

Passo 2

Primeiro determinamos a distância do satélite ao centro da Terra no perigeu. Em órbita elíptica vale
r_{\text{p}} = a\,(1 - e).
Substituindo a = 8\,000 km e e = 0{,}6,
r_{\text{p}} = 8\,000 \times (1 - 0{,}6) = 8\,000 \times 0{,}4 = 3\,200\\ \text{km}.

Passo 3

Agora aplicamos a equação de vis-viva, que diz:
v^2 = \mu\!\Bigl(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\Bigr),
onde \mu = GM_{\oplus}\approx 398\,600\\ \text{km}^3/\text{s}^2. No perigeu usamos r=r_{\text{p}} e o mesmo a:
v_{\text{p}}^2 = 398\,600\!\Bigl(\frac{2}{3\,200} - \frac{1}{8\,000}\Bigr).

Passo 4

Calculamos o parêntese:
\frac{2}{3\,200} = 0{,}000625,\quad \frac{1}{8\,000} = 0{,}000125,\quad \frac{2}{3\,200}-\frac{1}{8\,000} = 0{,}000500.
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v_{\text{p}}^2 = 398\,600 \times 0{,}000500 = 199{,}3,
v_{\text{p}} = \sqrt{199{,}3}\approx 14{,}11\\ \text{km/s}.

Resposta

A velocidade no perigeu é aproximadamente 14{,}11\\ \text{km/s}.

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