Calcule o delta-v necessário para transferir uma nave de uma órbita circular de 200 km para outra de 800 km acima da Terra.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do \Delta v necessário para transferir uma nave de uma órbita circular de 200,km de altitude para outra de 800,km usando uma transferência de Hohmann. O conteúdo é mecânica orbital, vamos precisar de:
– O raio da Terra R_E e o parâmetro gravitacional \mu.
– Cálculo da velocidade circular em cada órbita.
– Velocidades nos pontos de perigeu e apogeu da órbita de transferência.
– Diferença de velocidade (que são as manobras de queima) e soma total.

Passo 2

Definimos os raios das órbitas a partir do centro da Terra:
r_1 = R_E + 200\;\mathrm{km} = 6378 + 200 = 6578\;\mathrm{km},
r_2 = R_E + 800\;\mathrm{km} = 6378 + 800 = 7178\;\mathrm{km}.
Adotamos o parâmetro gravitacional padrão \mu = 398\,600\;\mathrm{km^3/s^2}.

Passo 3

Calculamos as velocidades circulares iniciais e finais:
v_1 = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} = \sqrt{\frac{398600}{6578}}\approx 7,79\;\mathrm{km/s},
v_2 = \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} = \sqrt{\frac{398600}{7178}}\approx 7,45\;\mathrm{km/s}.

Passo 4

Usamos fórmulas da órbita de Hohmann, que é elíptica com perigeu em r_1 e apogeu em r_2:
v_{p} = \sqrt{2\mu\frac{r_2}{r_1(r_1+r_2)}}, \quad v_{a} = \sqrt{2\mu\frac{r_1}{r_2(r_1+r_2)}}.
Substituindo,
v_{p}\approx 7,948\;\mathrm{km/s}, \quad v_{a}\approx 7,609\;\mathrm{km/s}.

Passo 5

As duas manobras são:
– No perigeu: \Delta v_1 = v_{p} - v_1 \approx 7,948 - 7,787 = 0,161\;\mathrm{km/s}.
– No apogeu: \Delta v_2 = v_2 - v_{a} \approx 7,450 - 7,609 = -0,159\;\mathrm{km/s}, em módulo 0,159\;\mathrm{km/s}.

Passo 6

Somamos os módulos para obter o \Delta v total da transferência:
\Delta v_{\rm total} = \Delta v_1 + \Delta v_2 \approx 0,161 + 0,159 = 0,320\;\mathrm{km/s}.

Resposta

O \Delta v necessário é aproximadamente 0,32\;\mathrm{km/s}.

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