Mostre que o potencial gravitacional de uma casca esférica fina de massa M e raio R é constante no interior.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o potencial gravitacional de uma casca esférica fina de massa M e raio R é constante em qualquer ponto interno (distância r\le R do centro). Vamos usar a definição de potencial como integral sobre a massa e explorar a simetria esférica.
Passo 2
Para um ponto interno a distância r do centro, o potencial gravitacional é dado por
V(r) \;=\; -G \int \frac{dM}{\bigl|\mathbf r - \mathbf r'\bigr|}\,.
Como a casca é fina, a densidade superficial é
\sigma \;=\; \frac{M}{4\pi R^2},
e em coordenadas esféricas centradas na casca temos