Mostre que o potencial gravitacional de uma casca esférica fina de massa M e raio R é constante no interior.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o potencial gravitacional de uma casca esférica fina de massa M e raio R é constante em qualquer ponto interno (distância r\le R do centro). Vamos usar a definição de potencial como integral sobre a massa e explorar a simetria esférica.

Passo 2

Para um ponto interno a distância r do centro, o potencial gravitacional é dado por
V(r) \;=\; -G \int \frac{dM}{\bigl|\mathbf r - \mathbf r'\bigr|}\,.
Como a casca é fina, a densidade superficial é
\sigma \;=\; \frac{M}{4\pi R^2},
e em coordenadas esféricas centradas na casca temos
dM = \sigma\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi, \qquad \bigl|\mathbf r - \mathbf r'\bigr| = \sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}\,.

Passo 3

Integrando primeiro em \varphi (de 0 a 2\pi) surge um fator 2\pi, então
V(r) = -2\pi G\,\sigma\,R^2 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\,d\theta}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}}.
Fazendo a mudança de variável u = \cos\theta, com du = -\sin\theta\,d\theta, o limite \theta=0\to u=1 e \theta=\pi\to u=-1. Assim
V(r) = -2\pi G\,\sigma\,R^2 \int_{-1}^{1} \frac{du}{\sqrt{(R^2 + r^2) - 2Rr\,u}}.

Passo 4

Defina
A = R^2 + r^2, \quad B = 2Rr.
Então o integral em u é
\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{A - B\,u}} = \biggl[-\frac{2}{B}\sqrt{A - B\,u}\biggr]_{u=-1}^{u=1} = \frac{2}{B}\bigl(\sqrt{A+B}-\sqrt{A-B}\bigr) = \frac{2}{2Rr}\,( (R+r)-(R-r) ) = \frac{2}{R}.

Passo 5

Substituindo esse resultado em V(r) e lembrando que \sigma = \tfrac{M}{4\pi R^2}, vem
V(r) = -2\pi G\,\sigma\,R^2 \,\frac{2}{R} = -4\pi G\,\sigma\,R = -4\pi G\,\frac{M}{4\pi R^2}\,R = -\frac{GM}{R}.
Note que não há dependência de r: o potencial é o mesmo para todo ponto com r\le R.

Resposta

V(r) = -\frac{GM}{R} \quad\text{para todo }r\le R,
isto é, o potencial é constante no interior da casca.

Exercícios relacionados