Calcule a energia mínima necessária para lançar uma sonda de 500 kg da superfície da Terra para fora do Sistema Solar. Despreze outros corpos celestes.

Passo 1

O enunciado pede a energia mínima para lançar uma sonda de m=500 kg da superfície da Terra até escapar não só da gravidade terrestre, mas também da gravidade do Sol (isto é, sair do Sistema Solar), desprezando outros corpos.
Conteúdo: energia de escape (variação de energia mecânica) de dois poços gravitacionais independentes (Terra e Sol).

Passo 2

Calcular a energia para escapar da Terra. A velocidade de escape da Terra é
v_{\rm esc,E} = \sqrt{\frac{2\,G\,M_\oplus}{R_\oplus}}
e a energia cinética mínima necessária na superfície é
E_{\rm esc,E} =\tfrac12\,m\,v_{\rm esc,E}^2 =\frac{G\,M_\oplus\,m}{R_\oplus}\,.
Usando \;G=6,67\times10^{-11}\,\mathrm{m^3/(kg\,s^2)}, \;M_\oplus=5,97\times10^{24}\,\mathrm{kg}, \;R_\oplus=6,37\times10^{6}\,\mathrm{m}, \;m=500\,\mathrm{kg},
obtém-se
E_{\rm esc,E} \approx \frac{6,67\times10^{-11}\cdot5,97\times10^{24}\cdot500}{6,37\times10^{6}} \approx3,1\times10^{10}\,\mathrm{J}.

Passo 3

Calcular a energia para escapar do poço gravitacional do Sol, partindo da órbita da Terra. A energia mecânica total inicial (por unidade de massa) é
\varepsilon_i =\tfrac12\,v_{\rm orb}^2-\frac{G\,M_\odot}{r_{\rm E}} =-\frac{G\,M_\odot}{2\,r_{\rm E}},
onde r_{\rm E}=1{,}496\times10^{11} m. Para escapar (órbita parabólica), a energia final é zero, então a energia a acrescentar é
\Delta E_{\rm Sol} = m\Bigl(0 - \varepsilon_i\Bigr) =\frac{G\,M_\odot\,m}{2\,r_{\rm E}}.
Com \;M_\odot=1,99\times10^{30}\,\mathrm{kg},
isso dá
\Delta E_{\rm Sol} \approx\frac{6,67\times10^{-11}\cdot1,99\times10^{30}\cdot500}{2\cdot1,496\times10^{11}} \approx2,2\times10^{11}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Soma das duas parcelas de energia:
E_{\rm total} =E_{\rm esc,E}+\Delta E_{\rm Sol} \approx3,1\times10^{10} + 2,2\times10^{11} \approx2,5\times10^{11}\,\mathrm{J}.

Resposta

A energia mínima necessária é aproximadamente
2,5\times10^{11}\,\mathrm{J}.

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