A altitude de uma montanha é dada pela função
. Um alpinista está no ponto
e deseja subir na direção mais íngreme. Encontre a direção que ele deve seguir.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função que representa a altitude de uma montanha:
. Um alpinista está no ponto
e quer subir na direção mais íngreme. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de aumento mais rápido da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matemáticamente, é representado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, substituímos as coordenadas do ponto onde o alpinista está, que é
, no gradiente que acabamos de encontrar:
Esse vetor
indica a direção na qual a altitude aumenta mais rapidamente a partir do ponto
.
Passo 4
Para encontrar a direção que o alpinista deve seguir, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformá-lo em um vetor de comprimento 1. Isso é feito dividindo cada componente do vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor
:
Agora, normalizamos o vetor:
Resposta
O alpinista deve seguir na direção
para subir na direção mais íngreme.