A altitude de uma montanha é dada pela função f(x, y)=1000-0,01 x^2-0,02 y^2. Um alpinista está no ponto (100,50) e deseja subir na direção mais íngreme. Encontre a direção que ele deve seguir.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função que representa a altitude de uma montanha: f(x, y) = 1000 - 0,01x^2 - 0,02 y^2 . Um alpinista está no ponto (100,50) e quer subir na direção mais íngreme. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos dá a direção de aumento mais rápido da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matemáticamente, é representado por:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Vamos calcular cada derivada parcial:
partial fpartial x = partialpartial x ( 1000 - 0,01x^2 - 0,02 y^2 ) = -0,02x
partial fpartial y = partialpartial y ( 1000 - 0,01x^2 - 0,02 y^2 ) = -0,04y
Portanto, o gradiente fica:
nabla f(x, y) = (-0,02x, -0,04y)

Passo 3

Agora, substituímos as coordenadas do ponto onde o alpinista está, que é (100,50), no gradiente que acabamos de encontrar:
nabla f(100, 50) = (-0,02 times 100, -0,04 times 50) = (-2, -2)
Esse vetor (-2, -2) indica a direção na qual a altitude aumenta mais rapidamente a partir do ponto (100,50).

Passo 4

Para encontrar a direção que o alpinista deve seguir, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformá-lo em um vetor de comprimento 1. Isso é feito dividindo cada componente do vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do vetor (-2, -2):
| nabla f | = raiz(-2)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Agora, normalizamos o vetor:
( -22raiz2, -22raiz2 ) = ( -1raiz2, -1raiz2 )

Resposta

O alpinista deve seguir na direção ( -1raiz2, -1raiz2 ) para subir na direção mais íngreme.

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