Seja f(x)= 7-x, & se x<6 x3-1, & se x>6
Determine o domínio e a imagem de f.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = 7 - x, & se x < 6 x3 - 1, & se x > 6
Precisamos determinar o domínio (todos os valores de x para os quais a função está definida) e a imagem (todos os valores que a função pode assumir).

Passo 2

Determinar o domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Observando a definição da função, ela está especificada para x < 6 e para x > 6 . Não há definição para x = 6 .
Portanto, o domínio é todos os números reais exceto x = 6 .

Passo 3

Expressando o domínio:
Em notação matemática, o domínio Df pode ser representado como:
Df = x in R mid x neq 6
Ou, utilizando a união de intervalos:
Df = (-infty, 6) cup (6, +infty)

Passo 4

Determinar a imagem:
A imagem de uma função são todos os valores de f(x) que a função pode assumir. Vamos analisar cada parte da função separadamente.
  1. Para x < 6 , f(x) = 7 - x :
    • Esta é uma função linear decrescente. À medida que x aumenta em direção a 6, f(x) diminui.
    • Quando x tende a menos infinito ( x to -infty ), f(x) tende a mais infinito ( f(x) to +infty ).
    • Quando x se aproxima de 6 pela esquerda ( x to 6^- ), f(x) se aproxima de 7 - 6 = 1 .
  2. Para x > 6 , f(x) = x3 - 1 :
    • Esta também é uma função linear, mas crescente. À medida que x aumenta, f(x) também aumenta.
    • Quando x tende a mais infinito ( x to +infty ), f(x) tende a mais infinito ( f(x) to +infty ).
    • Quando x se aproxima de 6 pela direita ( x to 6^+ ), f(x) se aproxima de 63 - 1 = 2 - 1 = 1 .

Passo 5

Analisando os valores da imagem:
  • Para x < 6 :
    • f(x) = 7 - x pode assumir qualquer valor maior que 1, já que x < 6 faz com que 7 - x > 1 .
    • Portanto, para x < 6 , f(x) in (1, +infty) .
  • Para x > 6 :
    • f(x) = x3 - 1 também pode assumir qualquer valor maior que 1, pois x > 6 implica x3 > 2 , então x3 - 1 > 1 .
    • Portanto, para x > 6 , f(x) in (1, +infty) .

Passo 6

Concluindo a imagem:
Como para ambas as partes da função f(x) o valor mínimo é 1 (não incluso, já que x = 6 não está no domínio) e f(x) pode crescer indefinidamente, a imagem de f é:
Ima>=m de f = (1, +infty)

Resposta

  • Domínio de f : Df = x in R mid x neq 6 ou Df = (-infty, 6) cup (6, +infty)
  • Imagem de f : Ima>=m = (1, +infty)

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