Seja
Determine o domínio e a imagem de
.
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos determinar o domínio (todos os valores de
para os quais a função está definida) e a imagem (todos os valores que a função pode assumir).
Passo 2
Determinar o domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Observando a definição da função, ela está especificada para
e para
. Não há definição para
.
Portanto, o domínio é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Expressando o domínio:
Em notação matemática, o domínio
pode ser representado como:
Ou, utilizando a união de intervalos:
Passo 4
Determinar a imagem:
A imagem de uma função são todos os valores de
que a função pode assumir. Vamos analisar cada parte da função separadamente.
-
Para
, : - Esta é uma função linear decrescente. À medida que
aumenta em direção a 6, diminui. - Quando
tende a menos infinito ( ), tende a mais infinito ( ). - Quando
se aproxima de 6 pela esquerda ( ), se aproxima de .
- Esta é uma função linear decrescente. À medida que
-
Para
, : - Esta também é uma função linear, mas crescente. À medida que
aumenta, também aumenta. - Quando
tende a mais infinito ( ), tende a mais infinito ( ). - Quando
se aproxima de 6 pela direita ( ), se aproxima de .
- Esta também é uma função linear, mas crescente. À medida que
Passo 5
Analisando os valores da imagem:
-
Para
: -
pode assumir qualquer valor maior que 1, já que faz com que . - Portanto, para
, .
-
-
Para
: -
também pode assumir qualquer valor maior que 1, pois implica , então . - Portanto, para
, .
-
Passo 6
Concluindo a imagem:
Como para ambas as partes da função
o valor mínimo é 1 (não incluso, já que
não está no domínio) e
pode crescer indefinidamente, a imagem de
é:
Resposta
-
Domínio de
: ou -
Imagem de
: