Determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas abaixo em torno do eixo x .
a região entre a curva y=raizcotg x e o eixo x, de x=pi6 e x=pi2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por
y=raizcot x, o eixo x e as retas x=tfracpi6 e x=tfracpi2.
O conteúdo aqui é volume de revolução pelo método dos discos.

Passo 2

Ao girar um fatia de espessura dx em x, temos um disco de raio
y=raizcot x.
A área da secção é
A(x)=pil(raizcot xr)^2=pi,cot x
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V=integralx=pi/6^x=pi/2A(x),dx =piintegralpi/6^pi/2cot x,dx

Passo 3

Para integrar cot x=cos xsin x, usamos
integralcot x,dx=integralcos xsin x,dx=lnl|sin xr|+C
Assim
integralpi/6^pi/2cot x,dx =l[lnlvertsin xrvertr]pi/6^pi/2

Passo 4

Avaliação nos limites:
sin(tfracpi2)=1 e sin(tfracpi6)=tfrac12, então
lnl(sin(tfracpi2)r)-lnl(sin(tfracpi6)r) =ln(1)-lnl(tfrac12r) =0-(-ln2) =ln2
Multiplicando por pi, vem
V=piln2

Resposta

V=piln2

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