A altitude de um terreno é dada pela função
, onde x aponta para o leste e y para o norte, em metros. Suponha que você está no ponto
.
a) Se você caminhar exatamente para o norte, começará a subir ou descer? A que taxa?
b) Se você caminhar na direção noroeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
c) Em que direção a inclinação é máxima? Qual é essa taxa de variação? Qual o ângulo de inclinaçāo da subida em relação à horizontal?
a) Se você caminhar exatamente para o norte, começará a subir ou descer? A que taxa?
b) Se você caminhar na direção noroeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
c) Em que direção a inclinação é máxima? Qual é essa taxa de variação? Qual o ângulo de inclinaçāo da subida em relação à horizontal?
Passo 1
O enunciado dá a altitude de um terreno pela função
e pede em
:
a) a variação de andando para o norte;
b) a variação andando para noroeste;
c) a direção de subida máxima, sua taxa e o ângulo de inclinação.
Para resolver vamos usar derivadas parciais, derivada direcional e gradiente.
a) a variação de
b) a variação andando para noroeste;
c) a direção de subida máxima, sua taxa e o ângulo de inclinação.
Para resolver vamos usar derivadas parciais, derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e avaliamos em
.
Em :
Em
Logo o gradiente em
é
Passo 3
Para o norte a direção unitária é
. A derivada direcional é
Como é negativo, você desce à taxa de
metros de altitude para cada metro caminhado.
Passo 4
Para noroeste a direção (oeste
norte) é
, e o vetor unitário é
.
Então
Então
É positivo, logo você sobe, à taxa de cerca de
metros de altitude por metro caminhado.
Passo 5
A subida máxima ocorre na direção do gradiente
.
A taxa máxima é o módulo do gradiente:
A taxa máxima é o módulo do gradiente:
O vetor unitário nessa direção é
O ângulo
de inclinação satisfaz
, então
Resposta
a) Você desce a
m/m.
b) Você sobe a aproximadamente m/m.
c) Direção de (unitário
), taxa máxima
m/m e ângulo de inclinação
.
b) Você sobe a aproximadamente
c) Direção de