A altitude de um terreno é dada pela função z(x, y)=900-0,015 x^{2}-0,025 y^{2}, onde x aponta para o leste e y para o norte, em metros. Suponha que você está no ponto \mathrm{Q}=(20,10).
a) Se você caminhar exatamente para o norte, começará a subir ou descer? A que taxa? (0,5)
b) Se você caminhar na direção noroeste, começará a subir ou descer? A que taxa? (\mathbf{0}, \mathbf{5})
c) Em que direção a inclinação é máxima? Qual é essa taxa de variação? Qual o ângulo de inclinaçāo da subida em relação à horizontal? (\mathbf{1 , 0})

Passo 1

O enunciado dá a altitude de um terreno pela função
z(x,y)=900 - 0,015\,x^2 - 0,025\,y^2
e pede em Q=(20,10):
a) a variação de z andando para o norte;
b) a variação andando para noroeste;
c) a direção de subida máxima, sua taxa e o ângulo de inclinação.
Para resolver vamos usar derivadas parciais, derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z e avaliamos em Q.
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -0,03\,x,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -0,05\,y.
Em Q=(20,10):
\frac{\partial z}{\partial x}(20,10) = -0,03\times20 = -0,6, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}(20,10) = -0,05\times10 = -0,5.
Logo o gradiente em Q é
\nabla z(20,10) = (-0,6,\,-0,5).

Passo 3

Para o norte a direção unitária é \mathbf{u}_N=(0,1). A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}_N}z = \nabla z\cdot\mathbf{u}_N = (-0,6,\,-0,5)\cdot(0,1) = -0,5.
Como é negativo, você desce à taxa de 0,5 metros de altitude para cada metro caminhado.

Passo 4

Para noroeste a direção (oeste + norte) é \mathbf{v}=(-1,1), e o vetor unitário é
\displaystyle \mathbf{u}_{NW}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1).
Então
D_{\mathbf{u}_{NW}}z = (-0,6,\,-0,5)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1) = \frac{0,6 - 0,5}{\sqrt{2}} = \frac{0,1}{\sqrt{2}}\approx 0,071.
É positivo, logo você sobe, à taxa de cerca de 0,071 metros de altitude por metro caminhado.

Passo 5

A subida máxima ocorre na direção do gradiente \nabla z(20,10)=(-0,6,-0,5).
A taxa máxima é o módulo do gradiente:
\|\nabla z\| = \sqrt{(-0,6)^2+(-0,5)^2} = \sqrt{0,36+0,25} = \sqrt{0,61}\approx0,781.
O vetor unitário nessa direção é
\frac{1}{\sqrt{0,61}}(-0,6,-0,5)\approx(-0,767,-0,640).
O ângulo \alpha de inclinação satisfaz \tan\alpha=\|\nabla z\|, então
\alpha = \arctan(0,781)\approx 38{,}0^\circ.

Resposta

a) Você desce a 0,5 m/m.
b) Você sobe a aproximadamente 0,071 m/m.
c) Direção de \nabla z=( -0,6,-0,5) (unitário \approx(-0,767,-0,640)), taxa máxima 0,781 m/m e ângulo de inclinação \alpha\approx38{,}0^\circ.

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