Sobre retas, planos e suas relações posicionais, Adriana escreveu em seu caderno as seguintes afirmações:
I - Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. II - Se uma reta r está contida em um plano a, então existem retas paralelas a r fora de a. III - Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.
IV - Dada uma reta r paralela a um plano a, então r não é paralela a todas as retas de a. Está correto apenas o que se afirma em:
Apenas as afirmativas I e II.
Apenas as afirmativas II e III.
Apenas as afirmativas II e IV.
Apenas as afirmativas III e IV.

Passo 1

O enunciado trata de relações de paralelismo e concorrência entre retas e planos no espaço. Precisamos avaliar se cada uma das quatro afirmativas (I a IV) está correta, usando as definições padrão:
– Uma reta r é paralela a um plano a se não tem ponto em comum com a.
– Duas retas são paralelas se são coplanares e não se interceptam.
– Duas retas são concorrentes se se interceptam num ponto.
– Duas retas concorrentes são ortogonais se formam ângulo reto onde se cruzam.

Passo 2

Analisando I – “Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.”
Contraexemplo: seja o plano a:\;z=0. Considere
r_1:\;(t,0,1),\quad r_2:\;(0,s,2).
Ambas não intersectam a, logo são paralelas a a. Mas r_1 e r_2 não são coplanares (são retas reversas), portanto não são paralelas entre si. Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando II e III:
– II – “Se uma reta r está contida em um plano a, então existem retas paralelas a r fora de a.”
Basta tomar um ponto P\notin a e traçar a única reta por P paralela a r. Logo II é verdadeira.
– III – “Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.”
Por definição de ortogonalidade, duas retas que se interceptam formam um ângulo bem definido e podem perfeitamente ser de 90^\circ. Logo III é verdadeira.

Passo 4

Analisando IV – “Dada uma reta r paralela a um plano a, então r não é paralela a todas as retas de a.”
Como r não intersecta a, ela também não intersecta nenhuma reta de a. E, em geometria espacial, retas que não se interceptam (mesmo que reversas) são consideradas paralelas. Assim r é paralela a toda reta contida em a, o que torna a afirmação IV falsa.

Resposta

Apenas as afirmativas II e III.

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