Sobre retas, planos e suas relações posicionais, Adriana escreveu em seu caderno as seguintes afirmações:
I - Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. II - Se uma reta
está contida em um plano
, então existem retas paralelas a
fora de
. III - Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.
IV - Dada uma reta
paralela a um plano
, então
não é paralela a todas as retas de
. Está correto apenas o que se afirma em:
Apenas as afirmativas I e II.
Apenas as afirmativas II e III.
Apenas as afirmativas II e IV.
Apenas as afirmativas III e IV.
I - Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. II - Se uma reta
IV - Dada uma reta
Passo 1
O enunciado trata de relações de paralelismo e concorrência entre retas e planos no espaço. Precisamos avaliar se cada uma das quatro afirmativas (I a IV) está correta, usando as definições padrão:
– Uma reta é paralela a um plano
se não tem ponto em comum com
.
– Duas retas são paralelas se são coplanares e não se interceptam.
– Duas retas são concorrentes se se interceptam num ponto.
– Duas retas concorrentes são ortogonais se formam ângulo reto onde se cruzam.
– Uma reta
– Duas retas são paralelas se são coplanares e não se interceptam.
– Duas retas são concorrentes se se interceptam num ponto.
– Duas retas concorrentes são ortogonais se formam ângulo reto onde se cruzam.
Passo 2
Analisando I – “Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.”
Contraexemplo: seja o plano . Considere
Contraexemplo: seja o plano
Ambas não intersectam
, logo são paralelas a
. Mas
e
não são coplanares (são retas reversas), portanto não são paralelas entre si. Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando II e III:
– II – “Se uma reta está contida em um plano
, então existem retas paralelas a
fora de
.”
Basta tomar um ponto e traçar a única reta por
paralela a
. Logo II é verdadeira.
– II – “Se uma reta
Basta tomar um ponto
– III – “Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.”
Por definição de ortogonalidade, duas retas que se interceptam formam um ângulo bem definido e podem perfeitamente ser de . Logo III é verdadeira.
Por definição de ortogonalidade, duas retas que se interceptam formam um ângulo bem definido e podem perfeitamente ser de
Passo 4
Analisando IV – “Dada uma reta
paralela a um plano
, então
não é paralela a todas as retas de
.”
Como não intersecta
, ela também não intersecta nenhuma reta de
. E, em geometria espacial, retas que não se interceptam (mesmo que reversas) são consideradas paralelas. Assim
é paralela a toda reta contida em
, o que torna a afirmação IV falsa.
Como
Resposta
Apenas as afirmativas II e III.