A derivada direcional de f(x, y)=x^{2} y-x+y^{2}+7 y no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(-2,1) na direção do vetor \vec{u}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right) é igual a
(A) \nabla_{\vec{u}} f(-2,1)=-7.
(B) \nabla_{\vec{u}} f(-2,1)=7.
(C) \nabla_{\vec{u}} f(-2,1)=\frac{19}{5}.
(D) \nabla_{\vec{u}} f(-2,1)=-\frac{6}{5}.
(E) \nabla_{\vec{u}} f(-2,1)=-\frac{19}{5}.
(F) outro valor.

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)=x^{2}y - x + y^{2} + 7y
e queremos a derivada direcional em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=(-2,1) na direção do vetor unitário
\vec{u}=\bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\bigr).
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais, gradiente e produto escalar para obter a derivada direcional.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x tratamos y como constante e derivamos em x:
\frac{\partial f}{\partial x} =2xy - 1.
Para \partial f/\partial y tratamos x como constante e derivamos em y:
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2} + 2y + 7.

Passo 3

Avaliando essas parciais em (-2,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(-2,1) =2\cdot(-2)\cdot1 - 1 =-4 - 1 =-5,
\frac{\partial f}{\partial y}(-2,1) =(-2)^{2} + 2\cdot1 + 7 =4 + 2 + 7 =13.
Logo o gradiente em (-2,1) é
\nabla f(-2,1)=(-5,\,13).

Passo 4

A derivada direcional na direção \vec{u} é o produto escalar entre \nabla f(-2,1) e \vec{u}:
\nabla_{\vec{u}}f(-2,1) =( -5,\,13)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\Bigr) =-5\cdot\tfrac{3}{5} + 13\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) =-3 - \tfrac{52}{5} =-\tfrac{67}{5}.

Passo 5

O valor -\tfrac{67}{5} não aparece em nenhuma das alternativas (A) a (E), então a resposta é a opção (F).

Resposta

(F)

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