Altividade 11. Determine a série de Laurent da função f(z)=1-cos (z)z^2 entorno do ponto z0=0.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente encontrar a série de Laurent de
f(z)=1-cos(z)z^2
em torno de z0=0.
Conteúdo: séries de potências (Taylor/Maclaurin e Laurent).
O que vamos precisar:
  • A expansão em série de potências do cos(z) (Maclaurin).
  • Fazer 1-cos(z).
  • Dividir essa série por z^2.

Passo 2

Lembra da série de Maclaurin do cosseno? É só aplicar a fórmula de Taylor em torno de 0 para funções inteiras:
cos(z)=sumn=0^infty(-1)^n,z^2n(2n)! =1-z^22!+z^44!-z^66!+cdots

Passo 3

Agora a gente calcula 1-cos(z), subtraindo termo a termo:
1-cos(z) =1-l(1-tfracz^22!+tfracz^44!-cdotsr) =z^22!-z^44!+z^66!-cdots =sumn=1^infty(-1)^,n-1z^2n(2n)!

Passo 4

Dividindo por z^2, obtemos a série de Laurent (aqui não aparecem potências negativas, ou seja, é uma singularidade removível):
1-cos(z)z^2 =sumn=1^infty(-1)^,n-1z^2n-2(2n)!
Para ficar mais bonitinho, fazemos a troca de índice k=n-1. Então n=k+1 e:
1-cos(z)z^2 =sumk=0^infty(-1)^kz^2kl(2(k+1)r)! =sumk=0^infty(-1)^kz^2k(2k+2)!

Resposta

boxed 1-cos(z)z^2 =sumk=0^infty(-1)^k,z^2k(2k+2)! =12-z^224+z^4720-z^640320+cdots

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