Determine as integrais das funções abaixo:
integrallang<= t e^t, ln trang<= d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de um campo vetor dado por lang<= t e^t, ln trang<=. O conteúdo aqui é integração componente a componente, usando integração por partes em cada uma.

Passo 2

Para a primeira componente precisamos calcular integral t e^t,dt. Usando integração por partes com u = t e dv = e^tdt, temos du = dt e v = e^t. Logo,
integral t e^t,dt = t e^t - integral e^t,dt = t e^t - e^t = e^tl(t - 1r)

Passo 3

Para a segunda componente calculamos integral ln t,dt. Novamente por partes, agora com u = ln t e dv = dt, portanto du = 1tdt e v = t. Assim,
integral ln t,dt = tln t - integral tcdot1t,dt = tln t - integral 1,dt = tln t - t

Passo 4

Juntando as duas componentes, a integral do campo vetor é
integral lang<= t e^t, ln trang<=,dt = llang<= e^t(t - 1),,tln t - trrang<= + C,
onde C=lang<= C1,C2rang<= é um vetor constante de integração.

Resposta

integral lang<= t e^t, ln trang<=,dt = llang<= e^t(t - 1),,tln t - trrang<= + C

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