Dois trens,
e
, viajam na mesma linha reta em um trilho, ambos na mesma direção. O trem
está atrás, movendo-se a
. O trem
está 200 metros à frente do trem
, movendo-se a
. Ao perceber a proximidade, o maquinista do trem
aplica os freios que garantem uma desaceleração constante de
. Haverá colisão? Se não, a qual distância mínima eles chegarão um do outro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com clareza):
- Dois trens na mesma reta e mesma direção.
- O trem
está atrás do trem . - Separação inicial entre eles:
. - Velocidade inicial do trem
: . - Velocidade do trem
: (assume-se constante). - O trem
freia com desaceleração constante .
As perguntas do enunciado:
- Haverá colisão entre
e ? - Se não houver colisão, qual é a distância mínima entre eles (e quando ela ocorre)?
Passo 2
Vamos definir um sistema de referência simples e rever as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
- Escolho o eixo
ao longo da linha, com a posição inicial do trem em e, portanto, (porque está 200 m à frente). - Para movimento com aceleração constante, a posição em função do tempo é dada por
onde:
-
é a posição inicial, -
é a velocidade inicial (em ), -
é a aceleração (em ), -
é o tempo (em ). - A velocidade em função do tempo é
Essas fórmulas vêm da integração da aceleração constante — se isso parecer novo, pense: aceleração é taxa de variação da velocidade; integrando dá a velocidade, integrar de novo dá a posição. Vamos aplicá-las com os valores dados.
Passo 3
Escrevo as equações das posições de cada trem:
- Para
(com , , ):
- Para
(movimento retilíneo uniforme, , ):
Passo 4
Testo colisão impondo
. Igualando:
Organizo a equação em forma quadrática:
Multiplicando por
para simplificar:
Agora uso o discriminante
para saber se há solução real:
Como
, a equação quadrática não tem raízes reais: não existe tempo real
que torne
. Conclusão imediata: não haverá colisão.
Breve explicação física: o trem
inicialmente é mais rápido, mas freando continuamente fica cada vez mais lento; a conta mostra que ele nunca alcança a posição de
.
Passo 5
Agora calculamos a distância mínima entre eles. Uma forma prática é estudar a distância relativa
Se
para todo
, não há colisão; o mínimo de
dá a aproximação mais forte. Calculo
:
Esta é uma parábola em
com coeficiente positivo
, portanto tem um mínimo em um tempo finito. Para achar o mínimo posso derivar:
Colocando
para achar extremo:
Verifico que é mínimo porque a segunda derivada
.
Passo 6
Calculo a distância mínima substituindo
em
:
Faço as contas passo a passo:
Logo
Portanto a menor separação é
, ocorrendo em
após o início da frenagem.
Comentário físico-final: é interessante notar que o trem
só para completamente em
(porque
), e nesse instante a separação volta a ser
. O ponto de aproximação máxima (distância mínima) ocorre antes, em
, quando a velocidade relativa passa por zero.
Resposta
Não, não haverá colisão.
Distância mínima: , ocorrendo em
.
Distância mínima: