Dois trens, A e B, viajam na mesma linha reta em um trilho, ambos na mesma direção. O trem A está atrás, movendo-se a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O trem B está 200 metros à frente do trem A, movendo-se a 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ao perceber a proximidade, o maquinista do trem A aplica os freios que garantem uma desaceleração constante de -1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Haverá colisão? Se não, a qual distância mínima eles chegarão um do outro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com clareza):
  • Dois trens na mesma reta e mesma direção.
  • O trem A está atrás do trem B.
  • Separação inicial entre eles: 200\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial do trem A: v_{A0}=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do trem B: v_{B}=15\\ \mathrm{m/s} (assume-se constante).
  • O trem A freia com desaceleração constante a_{A}=-1,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    As perguntas do enunciado:
  1. Haverá colisão entre A e B?
  2. Se não houver colisão, qual é a distância mínima entre eles (e quando ela ocorre)?

Passo 2

Vamos definir um sistema de referência simples e rever as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Escolho o eixo x ao longo da linha, com a posição inicial do trem A em x_{A}(0)=0 e, portanto, x_{B}(0)=200\\ \mathrm{m} (porque B está 200 m à frente).
  • Para movimento com aceleração constante, a posição em função do tempo é dada por
x(t)=x_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2},
onde:
  • x_{0} é a posição inicial,
  • v_{0} é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}),
  • a é a aceleração (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • t é o tempo (em \mathrm{s}).
  • A velocidade em função do tempo é
v(t)=v_{0}+a t.
Essas fórmulas vêm da integração da aceleração constante — se isso parecer novo, pense: aceleração é taxa de variação da velocidade; integrando dá a velocidade, integrar de novo dá a posição. Vamos aplicá-las com os valores dados.

Passo 3

Escrevo as equações das posições de cada trem:
  • Para A (com x_{A}(0)=0, v_{A0}=30, a_{A}=-1,0):
x_{A}(t)=0+30t+\tfrac{1}{2}(-1,0)t^{2}=30t-\tfrac{1}{2}t^{2}.
  • Para B (movimento retilíneo uniforme, x_{B}(0)=200, v_{B}=15):
x_{B}(t)=200+15t.

Passo 4

Testo colisão impondo x_{A}(t)=x_{B}(t). Igualando:
30t-\tfrac{1}{2}t^{2}=200+15t.
Organizo a equação em forma quadrática:
-\tfrac{1}{2}t^{2}+30t-15t-200=0 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{2}t^{2}+15t-200=0.
Multiplicando por -2 para simplificar:
t^{2}-30t+400=0.
Agora uso o discriminante \Delta para saber se há solução real:
\Delta = (-30)^{2}-4\cdot1\cdot400=900-1600=-700.
Como \Delta<0, a equação quadrática não tem raízes reais: não existe tempo real t que torne x_{A}(t)=x_{B}(t). Conclusão imediata: não haverá colisão.
Breve explicação física: o trem A inicialmente é mais rápido, mas freando continuamente fica cada vez mais lento; a conta mostra que ele nunca alcança a posição de B.

Passo 5

Agora calculamos a distância mínima entre eles. Uma forma prática é estudar a distância relativa
d(t)=x_{B}(t)-x_{A}(t).
Se d(t)>0 para todo t\ge0, não há colisão; o mínimo de d(t) dá a aproximação mais forte. Calculo d(t):
d(t)=\bigl(200+15t\bigr)-\bigl(30t-\tfrac{1}{2}t^{2}\bigr)=200-15t+\tfrac{1}{2}t^{2}.
Esta é uma parábola em t com coeficiente positivo \tfrac{1}{2}, portanto tem um mínimo em um tempo finito. Para achar o mínimo posso derivar:
\frac{dd}{dt}=-15+t.
Colocando \frac{dd}{dt}=0 para achar extremo:
-15+t=0\quad\Rightarrow\quad t=15\\ \mathrm{s}.
Verifico que é mínimo porque a segunda derivada \frac{d^{2}d}{dt^{2}}=1>0.

Passo 6

Calculo a distância mínima substituindo t=15\\ \mathrm{s} em d(t):
d(15)=200-15\cdot15+\tfrac{1}{2}\cdot15^{2}.
Faço as contas passo a passo:
15\cdot15=225,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot15^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot225=112,5.
Logo
d(15)=200-225+112,5=87,5\\ \mathrm{m}.
Portanto a menor separação é 87,5\\ \mathrm{m}, ocorrendo em t=15\\ \mathrm{s} após o início da frenagem.
Comentário físico-final: é interessante notar que o trem A só para completamente em t=30\\ \mathrm{s} (porque v_{A}(t)=30-1,0\,t\Rightarrow t_{\text{parada}}=30\\ \mathrm{s}), e nesse instante a separação volta a ser 200\\ \mathrm{m}. O ponto de aproximação máxima (distância mínima) ocorre antes, em 15\\ \mathrm{s}, quando a velocidade relativa passa por zero.

Resposta

Não, não haverá colisão.
Distância mínima: 87,5\\ \mathrm{m}, ocorrendo em t=15\\ \mathrm{s}.

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