O gráfico da aceleração a em função do tempo t para uma partícula em movimento retilíneo é um triângulo que começa em ( t=0, a=0 ), sobe até um pico de a=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} no instante t=5 \mathrm{~s}, e desce de volta a a=0 em t=10 \mathrm{~s}. Sabendo que a partícula partiu do repouso, qual é a sua velocidade final no instante t=10 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado fornece um gráfico da aceleração a em função do tempo t com as seguintes informações (retiradas do enunciado):
  • O gráfico é um triângulo com vértices em (t=0,\;a=0), (t=5\\ \mathrm{s},\;a=4\\ \mathrm{m/s^{2}}) e (t=10\\ \mathrm{s},\;a=0).
  • A partícula parte do repouso, ou seja, a velocidade inicial é v(0)=0.
    A pergunta é: qual é a velocidade final da partícula no instante t=10\\ \mathrm{s}, isto é, qual é v(10)?

Passo 2

Conceito fundamental (a aula rápida): aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Matematicamente isso é
a(t)=\frac{dv}{dt},
logo a variação de velocidade entre dois instantes é a integral da aceleração:
\Delta v = v(t_2)-v(t_1)=\int_{t_1}^{t_2} a(t)\,dt.
No nosso caso queremos v(10) sabendo v(0)=0, portanto
v(10)=v(0)+\int_{0}^{10} a(t)\,dt = \int_{0}^{10} a(t)\,dt.
Interpretação geométrica: \int_{0}^{10} a(t)\,dt é a área sob a curva a(t) entre t=0 e t=10. Como o gráfico é um triângulo, dá para calcular essa área geometricamente.

Passo 3

Cálculo da área do triângulo (método geométrico, o mais direto):
  • Base do triângulo: comprimento em t é 10-0=10\\ \mathrm{s}.
  • Altura do triângulo: máxima aceleração é 4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    A área de um triângulo é \tfrac{1}{2}\timesbase \timesaltura, então
\int_{0}^{10} a(t)\,dt = \frac{1}{2}\times 10 \times 4 = 20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

(Método alternativo — integrar a função peça a peça — para ver que dá o mesmo resultado.) A função a(t) é linear subindo de 0 a 4 em 0\le t\le5 e depois decresce linearmente para 0 em 5\le t\le10. Podemos escrever
a(t)=\frac{4}{5}t\quad(0\le t\le5), \qquad a(t)=\frac{4}{5}(10-t)\quad(5\le t\le10).
Integrando em dois pedaços:
\int_{0}^{5}\frac{4}{5}t\,dt=\frac{4}{5}\cdot\frac{t^{2}}{2}\Bigg|_{0}^{5}=\frac{4}{5}\cdot\frac{25}{2}=10,
\int_{5}^{10}\frac{4}{5}(10-t)\,dt=\frac{4}{5}\left(10t-\frac{t^{2}}{2}\right)\Bigg|_{5}^{10}=\frac{4}{5}\cdot 12{,}5=10.
Somando os dois pedaços obtém-se novamente 10+10=20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Conclusão: a variação total de velocidade entre t=0 e t=10\\ \mathrm{s} é 20\\ \mathrm{m/s}. Como v(0)=0, a velocidade final é v(10)=20\\ \mathrm{m/s}. Você pode memorizar: área sob a(t) = variação de v — sempre que tiver gráfico de aceleração é a primeira coisa a olhar!

Resposta

20\\ \mathrm{m/s}

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