1. Um alto-falante, num concerto de rock, gera 10^-2 W / m^2 a 20 m, na frequência de 1 kHz. Vamos admitir que o alto-falante emita uniformemente a sua energia no hemisfério frontal e que não haja energia refletida pelo solo, ou por outros obstáculos, de modo que a intensidade do som possa ser estimada por I=P / 2 pi r^2. (a) Qual o nível de intensidade a 20 m? (b) Qual a potência acústica total emitida pelo alto-falante? © A que distância o nível de intensidade atingirá o limiar da audição dolorosa, 120 dB? (d) Qual o nível de intensidade a 30 m?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de som e como ele se propaga a partir de um alto-falante. A gente precisa usar conceitos de intensidade sonora, potência acústica e nível de intensidade em decibéis (dB). Vamos precisar da fórmula da intensidade I = P2 pi r^2, onde I é a intensidade, P a potência e r a distância do alto-falante. Além disso, para converter intensidade em dB, usamos beta = 10 log10 ( II0 ), onde I0 = 10^-12 , W/m^2 é o limiar da audição humana.

Passo 2

Parte (a): Qual o nível de intensidade a 20 m?
Primeiro, vamos usar a fórmula do nível de intensidade em decibéis:
beta = 10 log10 ( II0 )
Sabemos que I = 10^-2 , W/m^2 e I0 = 10^-12 , W/m^2. Vamos substituir esses valores na fórmula:
beta = 10 log10 ( 10^-210^-12 ) = 10 log10 (10^10) = 10 times 10 = 100 , dB

Passo 3

Parte (b): Qual a potência acústica total emitida pelo alto-falante?
Usamos a fórmula da intensidade:
I = P2 pi r^2
Queremos encontrar P, então rearranjamos a fórmula:
P = I times 2 pi r^2
Sabemos que I = 10^-2 , W/m^2 e r = 20 , m. Substituindo:
P = 10^-2 times 2 pi (20)^2 = 10^-2 times 2 pi times 400 = 10^-2 times 800 pi approx 10^-2 times 2513.274 approx 25.13 , W

Passo 4

Parte ©: A que distância o nível de intensidade atingirá o limiar da audição dolorosa, 120 dB?
Primeiro, queremos saber a intensidade correspondente a 120 dB. Usamos a fórmula:
beta = 10 log10 ( II0 )
Resolvendo para I:
beta10 = log10 ( II0 ) Rightarrow 10^beta10 = II0 Rightarrow I = I0 times 10^beta10
Substituindo beta = 120 dB:
I = 10^-12 times 10^12 = 10^0 = 1 , W/m^2
Agora, usamos novamente a fórmula da intensidade para encontrar r:
I = P2 pi r^2 Rightarrow r = raiz P2 pi I
Usando P approx 25.13 W (do Passo 3) e I = 1 , W/m^2:
r = raiz 25.132 pi times 1 = raiz 25.136.2832 approx raiz4 = 2 , m

Passo 5

Parte (d): Qual o nível de intensidade a 30 m?
Usamos a fórmula da intensidade novamente:
I = P2 pi r^2
Com P approx 25.13 W e r = 30 m:
I = 25.132 pi (30)^2 = 25.132 pi times 900 = 25.135654.866 approx 4.44 times 10^-3 , W/m^2
Agora, convertemos para dB:
beta = 10 log10 ( 4.44 times 10^-310^-12 ) = 10 log10 (4.44 times 10^9) approx 10 times (9 + log10 4.44) approx 10 times (9 + 0.647) = 96.47 , dB

Resposta

a) O nível de intensidade a 20 m é 100 dB.
b) A potência acústica total emitida pelo alto-falante é aproximadamente 25.13 W.
c) O nível de intensidade atinge o limiar da audição dolorosa, 120 dB, a 2 metros de distância.
d) O nível de intensidade a 30 m é aproximadamente 96.47 dB.

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