- Um fio metálico de massa 1 g e comprimento 50 cm está esticado, sob tensão de 440 N. O fio está nas vizinhanças da extremidade aberta do tubo da Figura 14-17 e é excitado por um arco de violino, de modo a vibrar na sua frequência fundamental. O nível de água no tubo é deslocado, para baixo, até que se observa, pela primeira vez, uma ressonância quando o nível está a 18 cm da boca do tubo. Com estes dados, determinar a velocidade do som no ar. Por que este método não é muito exato?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fio metálico que está vibrando na sua frequência fundamental quando é excitado por um arco de violino próximo a um tubo. Quando o nível da água no tubo é baixado até 18 cm, observamos uma ressonância. O que a gente precisa descobrir é a velocidade do som no ar usando esses dados. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre ondas em cordas e sobre a ressonância em tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a frequência fundamental da vibração do fio. A frequência fundamental $ f $ de um fio tensionado pode ser encontrada pela fórmula:
Onde:
- $ L $ é o comprimento do fio.
- $ T $ é a tensão no fio.
- $ \mu $ é a densidade linear do fio (massa por unidade de comprimento).
Passo 3
Vamos calcular a densidade linear $ \mu $. Sabemos que a massa $ m $ do fio é 1 g (que é $ 0,001 $ kg) e o comprimento $ L $ é 50 cm (que é 0,5 m). Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a frequência fundamental usando a fórmula mencionada:
Simplificando:
Passo 5
Com a frequência da corda conhecida, vamos relacionar isso com a ressonância no tubo. Para um tubo aberto em uma extremidade e fechado na outra (como é o caso com o nível da água), a frequência fundamental está dada por:
Onde:
- $ v $ é a velocidade do som no ar.
- $ L $ é o comprimento do tubo até o nível da água, que é 18 cm (0,18 m).
Passo 6
Vamos igualar as duas expressões para a frequência $ f $:
Agora, resolvendo para $ v $:
Resposta
A velocidade do som no ar calculada é aproximadamente 338 m/s. Esse método não é muito exato porque depende de condições ideais, como a perfeita tensão do fio e a precisão na medição do comprimento do tubo. Além disso, outros fatores como a temperatura do ar e imperfeições no tubo podem afetar a precisão do resultado.