A altura dos alunos de uma academia apresenta uma distribuição aproximadamente Normal. Para estimar a altura média dessa população, foi observada a altura de 30 alunos, obtendo-se altura média de 175 cm e desvio padrão de 15 cm . Determine um intervalo de confiança de 90 \% para a média populacional.

Passo 1

O enunciado diz que a altura dos alunos segue aproximadamente uma distribuição Normal e que, a partir de uma amostra de n=30 alunos, obteve-se média \bar x=175 cm e desvio-padrão amostral s=15 cm. Vamos construir um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu usando o conteúdo de intervalo de confiança para a média com sigma desconhecido, recorrendo à distribuição t.

Passo 2

Quando \sigma é desconhecido e a amostra é de tamanho moderado, a estatística
T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}}
segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade. Aqui, n-1=29.

Passo 3

Para nível de confiança 90\%, o nível de significância é \alpha=0,10. O quantil crítico é
t_{\alpha/2,\,n-1} = t_{0,05,\,29} \approx 1,699.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média (standard error):
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2,7386\text{ cm}.

Passo 5

O erro máximo (margem de erro) do intervalo é
E = t_{0,05,29}\,\times\text{SE} \approx 1,699 \times 2,7386 \approx 4,653\text{ cm}.

Passo 6

O intervalo de confiança de 90\% para \mu fica
\bigl[\bar x - E,\;\bar x + E\bigr] = \bigl[175 - 4,653,\;175 + 4,653\bigr] \approx [170,35,\;179,65]\text{ cm}.

Resposta

Intervalo de confiança de 90\% para a média: [170,35\text{ cm},\,179,65\text{ cm}].

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