Para avaliar a precisão de uma balança de laboratório, pesa-se repetidas vezes um objeto padrão de peso conhecido igual a 10 gramas. As leituras da balança têm distribuição normal com média desconhecida (essa média é 10 g , se a balança é equilibrada). Sabe-se que o desvio padrão das leituras é 0,0002 \mathrm{~g}. Pesa-se o objeto 5 vezes e o resultado médio é 10,0023 \mathrm{~g}. Estabeleça um intervalo de 95 \% de confiança para a média de repetidas pesagens do objeto. Você diria que a balança está regulada?

Passo 1

O enunciado diz que as leituras de peso seguem uma distribuição normal com média desconhecida \mu e desvio padrão conhecido \sigma = 0,0002\\ \mathrm{g}. Pesa-se o objeto n = 5 vezes e obtém-se média amostral \bar x = 10,0023\\ \mathrm{g}. Queremos um intervalo de 95\% de confiança para \mu.

Passo 2

Como \sigma é conhecido e a amostra vem de população normal, o intervalo de confiança de nível 95\% para \mu é dado por
\bar x \pm z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde z_{0,975} = 1,96 é o quantil da normal padrão.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,0002}{\sqrt{5}} \approx 0,0000894\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Calculamos a margem de erro multiplicando pelo quantil:
E = 1,96 \times 0,0000894 \approx 0,000175\\ \mathrm{g}.

Passo 5

O intervalo de confiança fica então
10,0023 \pm 0,000175,
ou seja
[\,10,0023 - 0,000175,\;10,0023 + 0,000175\,] = [\,10,002125,\;10,002475\,]\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Para avaliar se a balança está regulada, verificamos se o valor nominal 10,0000\\ \mathrm{g} está dentro do intervalo. Como 10,0000 não pertence a [10,002125,\;10,002475], concluímos que a balança não está regulada.

Resposta

O intervalo de 95\% de confiança para a média é
[\,10,002125,\;10,002475\,]\\ \mathrm{g}.
Como 10,0000\\ \mathrm{g} não está incluído, a balança não está regulada.

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