Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, bijetoras ou nenhuma dessas possibilidades:
f: R \rightarrow R, f(x)=3 x-5

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=3x-5 é injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma dessas possibilidades.
Informações dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Contradomínio (imagem alvo): \mathbb{R}.
  • Regra da função: f(x)=3x-5.
Perguntas a responder:
  • A função é injetora (um-para-um)?
  • A função é sobrejetora (sobre)?
  • A função é bijetora (injetora e sobrejetora simultaneamente)?

Passo 2

Definição de injetividade (explicação didática).
Uma função f é injetora se valores diferentes de entrada nunca produzem o mesmo valor de saída. Formalmente, f é injetora quando vale:
\text{se }f(a)=f(b)\text{ então }a=b,ã
para quaisquer a,b\in\mathbb{R}.
Intuição simples: se eu olhar para a imagem e pegar um valor y, ele vem de no máximo um x no domínio. Se dois x diferentes pudessem dar a mesma imagem y, a função não seria injetora.
Método para testar aqui: assumir f(a)=f(b) e ver se isso implica a=b. Vou aplicar isso à nossa função linear.

Passo 3

Teste de injetividade por cálculo (passo a passo).
Parto de f(a)=f(b):
f(a)=3a-5,\qquad f(b)=3b-5,
então
3a-5=3b-5.
Agora isolo termos semelhantes: somo 5 em ambos os lados
3a=3b.
Divido ambos os lados por 3 (que é diferente de zero)
a=b.
Conclusão deste passo: como f(a)=f(b) implica necessariamente a=b, a função f é injetora.
Observação didática: para funções lineares da forma f(x)=ax+b, quando a\neq 0 o passo acima sempre funciona — a inclinação diferente de zero impede que dois x distintos tenham a mesma imagem.

Passo 4

Definição de sobrejetividade (explicação didática).
Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos uma pré-imagem no domínio. Formalmente, f é sobrejetora quando:
\forall y\in\mathbb{R},\\ \exists x\in\mathbb{R}\text{ tal que }f(x)=y.
Intuição simples: a imagem da função “cobre” todo o conjunto \mathbb{R}. Para testar, pego um y arbitrário e tento resolver a equação f(x)=y para x. Se essa equação sempre tiver solução real, a função é sobrejetora.

Passo 5

Teste de sobrejetividade resolvendo f(x)=y (passo a passo).
Seja y\in\mathbb{R} qualquer. Quero achar x\in\mathbb{R} tal que
f(x)=3x-5=y.
Isolo x:
3x = y+5,
x = \frac{y+5}{3}.
A expressão \dfrac{y+5}{3} é um número real para todo y\in\mathbb{R}. Logo, para cada y existe pelo menos um x\in\mathbb{R} (especificamente x=(y+5)/3) com f(x)=y.
Conclusão deste passo: a função é sobrejetora.
Observação prática: esse cálculo também fornece a inversa de f: a função inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é
f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}.
Ter uma inversa definida em todo \mathbb{R} confirma que f é bijetora (se tem inversa, é injetora e sobrejetora).

Passo 6

Conclusão combinada e checagem alternativa (intuição extra).
Dos passos anteriores temos:
  • f é injetora (mostrado por f(a)=f(b)\Rightarrow a=b).
  • f é sobrejetora (mostrado por solução x=(y+5)/3 para qualquer y).
Portanto f é bijetora (porque é simultaneamente injetora e sobrejetora).
Outra forma rápida de ver isso: a função é uma reta afim com coeficiente angular 3\neq0, então é estritamente crescente e atinge todos os valores reais — propriedade típica de bijetividade para funções lineares ax+b com a\neq0.

Resposta

A função f é bijetora (injetora e sobrejetora).

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