Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, bijetoras ou nenhuma dessas possibilidades:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
dada por
é injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma dessas possibilidades.
Informações dadas:
- Domínio:
. - Contradomínio (imagem alvo):
. - Regra da função:
.
Perguntas a responder:
- A função é injetora (um-para-um)?
- A função é sobrejetora (sobre)?
- A função é bijetora (injetora e sobrejetora simultaneamente)?
Passo 2
Definição de injetividade (explicação didática).
Uma função é injetora se valores diferentes de entrada nunca produzem o mesmo valor de saída. Formalmente,
é injetora quando vale:
Uma função
para quaisquer
.
Intuição simples: se eu olhar para a imagem e pegar um valor
, ele vem de no máximo um
no domínio. Se dois
diferentes pudessem dar a mesma imagem
, a função não seria injetora.
Método para testar aqui: assumir
e ver se isso implica
. Vou aplicar isso à nossa função linear.
Passo 3
Teste de injetividade por cálculo (passo a passo).
Parto de :
Parto de
então
Agora isolo termos semelhantes: somo
em ambos os lados
Divido ambos os lados por
(que é diferente de zero)
Conclusão deste passo: como
implica necessariamente
, a função
é injetora.
Observação didática: para funções lineares da forma
, quando
o passo acima sempre funciona — a inclinação diferente de zero impede que dois
distintos tenham a mesma imagem.
Passo 4
Definição de sobrejetividade (explicação didática).
Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos uma pré-imagem no domínio. Formalmente,
é sobrejetora quando:
Uma função
Intuição simples: a imagem da função “cobre” todo o conjunto
. Para testar, pego um
arbitrário e tento resolver a equação
para
. Se essa equação sempre tiver solução real, a função é sobrejetora.
Passo 5
Teste de sobrejetividade resolvendo
(passo a passo).
Seja qualquer. Quero achar
tal que
Seja
Isolo
:
A expressão
é um número real para todo
. Logo, para cada
existe pelo menos um
(especificamente
) com
.
Conclusão deste passo: a função é sobrejetora.
Observação prática: esse cálculo também fornece a inversa de
: a função inversa
é
Ter uma inversa definida em todo
confirma que
é bijetora (se tem inversa, é injetora e sobrejetora).
Passo 6
Conclusão combinada e checagem alternativa (intuição extra).
Dos passos anteriores temos:
Dos passos anteriores temos:
-
é injetora (mostrado por ). -
é sobrejetora (mostrado por solução para qualquer ).
Portanto
é bijetora (porque é simultaneamente injetora e sobrejetora).
Outra forma rápida de ver isso: a função é uma reta afim com coeficiente angular
, então é estritamente crescente e atinge todos os valores reais — propriedade típica de bijetividade para funções lineares
com
.
Resposta
A função
é bijetora (injetora e sobrejetora).