(3,0) A altura de um cilindro circular reto é h = 25 cm e o raio da base r = 10 cm. Calcule um valor aproximado para a variação Delta V no volume quando h aumenta 2 mm e r diminui 3 mm . (Use pi ≅ 3,14 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro reto com altura e raio da base . A pergunta é: qual é a variação aproximada no volume ( ) quando a altura aumenta e o raio diminui ? Vamos usar o conteúdo de cálculo de variações e derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde:
  • V é o volume,
  • r é o raio da base,
  • h é a altura,
  • pi é aproximadamente .

Passo 3

Agora, queremos ver como pequenas mudanças em r e h afetam o volume V. Para isso, usamos as derivadas parciais. A variação no volume, , pode ser aproximada por:
Onde:
  • é a derivada de V em relação a r,
  • é a derivada de V em relação a h,
  • é a variação no raio,
  • é a variação na altura.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos:
  • ,
  • ,
  • (porque diminui),
  • (porque aumenta),
  • .
Vamos calcular cada parte.

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Agora, somamos as duas partes para encontrar :

Resposta

A variação aproximada no volume do cilindro é .

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