A altura de um cilindro circular reto é
e o raio da base
. Calcule um valor aproximado para a variação
no volume quando
aumenta 2 mm e r diminui 3 mm . (Use
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro reto com altura
e raio da base
. A pergunta é: qual é a variação aproximada no volume (
) quando a altura aumenta
e o raio diminui
? Vamos usar o conteúdo de cálculo de variações e derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura, -
é aproximadamente .
Passo 3
Agora, queremos ver como pequenas mudanças em
e
afetam o volume
. Para isso, usamos as derivadas parciais. A variação no volume,
, pode ser aproximada por:
Onde:
-
é a derivada de em relação a , -
é a derivada de em relação a , -
é a variação no raio, -
é a variação na altura.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos:
-
, -
, -
(porque diminui), -
(porque aumenta), -
.
Vamos calcular cada parte.
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Agora, somamos as duas partes para encontrar
:
Resposta
A variação aproximada no volume do cilindro é
.