Considere a função f: R^2 R, definida por f(x, y)=clx^2-x yx-y & , se x neq y -y & , se x=y
b) (1, 5) Calcule, caso existam, partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Isso envolve entender um pouquinho de cálculo de funções de várias variáveis, especialmente como definir derivadas parciais quando a função é dada de forma diferente dependendo dos valores de e . Vamos precisar usar o conceito de limite para encontrar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(0+h, 0) - f(0,0)h em relação a no ponto . A definição de derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular f(h, 0) = h^2 - h cdot 0h - 0 = h^2h = h . Como , e , se , a função fica:
Se , .

Passo 4

Substituindo na definição da derivada parcial em relação a partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 :
Então, a derivada parcial em relação a no ponto é 1.

Passo 5

Agora vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,0+k) - f(0,0)k em relação a no ponto . A definição é:

Passo 6

Vamos calcular f(0, k) = 0^2 - 0 cdot k0 - k = 0-k = 0 . Como e , se , a função fica:
Se , .

Passo 7

Substituindo na definição da derivada parcial em relação a partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = limk to 0 0 = 0 :
Então, a derivada parcial em relação a no ponto é 0.

Resposta

partial fpartial x(0,0) = 1 e partial fpartial y(0,0) = 0

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