Nos problemas
, resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
19.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação que relaciona
com sua derivada
. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como aplicar substituições para torná-las mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a derivada
. Dividimos tudo por
:
Passo 3
Agora, percebemos que a equação tem termos que sugerem uma substituição do tipo
. Vamos definir
. Isso significa que
.
Passo 4
Precisamos encontrar
em termos de
e
. Usando a regra do produto:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação:
Passo 7
Temos uma equação diferencial separável:
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Simplificamos a expressão:
Podemos reescrever
como
:
Passo 10
Resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 11
Finalmente, isolamos
:
Podemos renomear
como
para simplificar a notação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.