Nos problemas 15 - 20, resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
19. t^2 * dy/dt + y^2 = t * y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação que relaciona com sua derivada . Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifica a equação. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como aplicar substituições para torná-las mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar a derivada . Dividimos tudo por :

Passo 3

Agora, percebemos que a equação tem termos que sugerem uma substituição do tipo . Vamos definir . Isso significa que .

Passo 4

Precisamos encontrar em termos de e . Usando a regra do produto:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação:

Passo 7

Temos uma equação diferencial separável:
Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Simplificamos a expressão:
Podemos reescrever como :

Passo 10

Resolvemos para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 11

Finalmente, isolamos :
Podemos renomear como para simplificar a notação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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