Calcule as integrais: integral sen(3 x) sen(6 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sen(3 x) sen(6 x) d x. Aqui, estamos lidando com a integração de funções trigonométricas, especificamente o produto de dois senos. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma de cossenos, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica para o produto de senos:
sen(A) sen(B) = cos(A - B) - cos(A + B)2
Essa fórmula é super útil porque transforma o produto de senos em uma diferença de cossenos, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade com A = 3x e B = 6x, temos:
sen(3x) sen(6x) = cos(3x - 6x) - cos(3x + 6x)2
Simplificando dentro dos cossenos:
cos(-3x) - cos(9x)2
Lembrando que cos(-theta) = cos(theta), podemos escrever:
cos(3x) - cos(9x)2

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
integral sen(3x) sen(6x) dx = 12 integral [cos(3x) - cos(9x)] dx
Isso significa que podemos separar a integral em duas partes:
12 ( integral cos(3x) dx - integral cos(9x) dx )

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de cos(kx) é sen(kx)k.
Primeiro, para cos(3x):
integral cos(3x) dx = sen(3x)3
Segundo, para cos(9x):
integral cos(9x) dx = sen(9x)9

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
12 ( sen(3x)3 - sen(9x)9 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de sen(3x) sen(6x) dx é:
sen(3x)6 - sen(9x)18 + C

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