Considere a função
, definida por
a)
fé contínua em
? Justifique!
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente dependendo se
é igual a
ou não. O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de várias variáveis. Precisamos verificar se a função é contínua no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
. Como
quando ambos são 0, usamos a segunda parte da definição:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e
:
Podemos simplificar a expressão:
Então, o limite quando
se aproxima de
é:
Passo 5
Comparamos o limite com o valor da função em
:
Como eles são iguais, isso mostra que a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em
.