Considere a função f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = { (x^2 - x*y) / (x - y) , se x ≠ y; -y , se x = y }
a) (1, 5) fé contínua em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente dependendo se é igual a ou não. O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de várias variáveis. Precisamos verificar se a função é contínua no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em . Uma função é contínua nesse ponto se o limite dela quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o valor de . Como quando ambos são 0, usamos a segunda parte da definição:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e :
Podemos simplificar a expressão:
Então, o limite quando se aproxima de é:

Passo 5

Comparamos o limite com o valor da função em :
Como eles são iguais, isso mostra que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em .

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