BÔNUS (2,0) Seja
uma função diferenciável em
, com
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é diferenciável no ponto
. Isso quer dizer que a função tem derivadas parciais naquele ponto e que ela pode ser bem aproximada por uma reta ali perto de
. As informações que temos são:
O que a gente precisa fazer é calcular o limite:
Para isso, vamos usar a ideia de que uma função diferenciável pode ser aproximada por sua tangente no ponto onde ela é diferenciável.
Passo 2
Como
é diferenciável em
, podemos aproximar
usando a fórmula da diferenciação linear:
Substituindo os valores que a gente conhece:
Isso significa que, para valores de
bem pequenos,
é aproximadamente
.
Passo 3
Agora vamos substituir essa aproximação na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Vamos simplificar essa fração dividindo cada termo por
:
Agora, calculamos o limite conforme
tende a 0:
Resposta
O limite é igual a
.