BÔNUS (2,0) Seja g: R^2 R uma função diferenciável em (0,0), com
g(0,0)=3, partial gpartial x(0,0)=4 e partial gpartial y(0,0)=-1
Calcule lim t 0 g(t, t)+t^2-3t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função lim t 0 g(t, t) + t^2 - 3t que é diferenciável no ponto . Isso quer dizer que a função tem derivadas parciais naquele ponto e que ela pode ser bem aproximada por uma reta ali perto de . As informações que temos são:
O que a gente precisa fazer é calcular o limite:
Para isso, vamos usar a ideia de que uma função diferenciável pode ser aproximada por sua tangente no ponto onde ela é diferenciável.

Passo 2

Como g(t, t) approx g(0,0) + partial gpartial x(0,0) cdot t + partial gpartial y(0,0) cdot t é diferenciável em g(t, t) approx 3 + 4t - t = 3 + 3t , podemos aproximar usando a fórmula da diferenciação linear:
Substituindo os valores que a gente conhece:
Isso significa que, para valores de bem pequenos, é aproximadamente .

Passo 3

Agora vamos substituir essa aproximação na expressão do limite:
g(t, t) + t^2 - 3t approx (3 + 3t) + t^2 - 3t
Simplificando o numerador:
(3 + 3t) + t^2 - 3 = 3t + t^2
Então, a expressão fica:
3t + t^2t

Passo 4

Vamos simplificar essa fração dividindo cada termo por 3tt + t^2t = 3 + t :
lim t 0 (3 + t) = 3 + 0 = 3
Agora, calculamos o limite conforme tende a 0:

Resposta

O limite é igual a .

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