A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de
e o raio está decrescendo a uma taxa de
. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50 cm e o raio é 16 cm .
Passo 1
O exercício diz que a altura e o raio de um cilindro estão variando com o tempo, com taxas
e
. Queremos encontrar
quando
e
. O conteúdo é taxa relacionada usando a fórmula do volume de um cilindro
.
Passo 2
Para achar
derivamos implicitamente
em relação ao tempo:
$$\frac{dV}{dt}=\pi\Bigl(2r\frac{dr}{dt},h + r^2\frac{dh}{dt}\Bigr).
$$
Passo 3
Agora substituímos os valores
,
,
e
na expressão:
$$\frac{dV}{dt}=\pi\bigl(2\cdot16\cdot(-4)\cdot50 + 16^2\cdot(-10)\bigr).
$$
Passo 4
Calculando dentro dos parênteses:
, então
; e
, logo
. Somando dá
. Portanto:
$$\frac{dV}{dt}=-8960\pi,\mathrm{cm}^3/\mathrm{min}.
$$