A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cm / min e o raio está decrescendo a uma taxa de 4 cm / min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50 cm e o raio é 16 cm .

Passo 1

O exercício diz que a altura e o raio de um cilindro estão variando com o tempo, com taxas dhdt=-10,cm/min e drdt=-4,cm/min. Queremos encontrar dVdt quando h=50,cm e r=16,cm. O conteúdo é taxa relacionada usando a fórmula do volume de um cilindro V=pi r^2h.

Passo 2

Para achar dVdt derivamos implicitamente V=pi r^2h em relação ao tempo:
$$\frac{dV}{dt}=\pi\Bigl(2r\frac{dr}{dt},h + r^2\frac{dh}{dt}\Bigr).
$$

Passo 3

Agora substituímos os valores r=16, h=50, drdt=-4 e dhdt=-10 na expressão:
$$\frac{dV}{dt}=\pi\bigl(2\cdot16\cdot(-4)\cdot50 + 16^2\cdot(-10)\bigr).
$$

Passo 4

Calculando dentro dos parênteses: 2cdot16cdot50=1600, então 1600cdot(-4)=-6400; e 16^2=256, logo 256cdot(-10)=-2560. Somando dá -8960. Portanto:
$$\frac{dV}{dt}=-8960\pi,\mathrm{cm}^3/\mathrm{min}.
$$

Resposta

-8960pi,cm^3/min

Exercícios relacionados