A altura H(\mathrm{em} \mathrm{cm}) de uma planta foi medida ao longo de alguns dias, obtendo-se:
d 0 2 5 7
H 12.0 13.5 15.8 17.0
  1. Ajuste o polinômio quadrático \varphi(d)=a d^{2}+b d+c por mínimos quadrados.
  2. Estime a altura no dia d=6.
  3. Comente se um modelo quadrático parece coerente com o crescimento observado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Dados (dia d em dias, altura H em cm):
    • d=0,\; H=12{,}0
    • d=2,\; H=13{,}5
    • d=5,\; H=15{,}8
    • d=7,\; H=17{,}0
  • Perguntas:
    1. Ajustar por mínimos quadrados o polinômio quadrático \varphi(d)=a d^{2}+b d+c.
    2. Estimar a altura no dia d=6.
    3. Comentar se um modelo quadrático parece coerente com o crescimento observado.

Passo 2

Ideia dos mínimos quadrados e montagem das equações normais (explicação didática).
  • Objetivo dos mínimos quadrados: encontrar coeficientes (a,b,c) que minimizem a soma dos quadrados dos desvios observados
    S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{4}\big(H_i-\varphi(d_i)\big)^2
    onde (d_i,H_i) são nossos pontos. Isso dá um ajuste “melhor em média” quando não dá para passar exatamente por todos os pontos.
  • Montagem prática: escrevemos o modelo linear nos parâmetros a,b,c como
    H_i = a d_i^2 + b d_i + c + \varepsilon_i,
    com resíduos \varepsilon_i. Para minimizar S, derivamos em relação a a,b,c e obtemos as equações normais que, em forma matricial, são
    \begin{pmatrix} \sum d_i^4 & \sum d_i^3 & \sum d_i^2 \\\ \sum d_i^3 & \sum d_i^2 & \sum d_i \\\ \sum d_i^2 & \sum d_i & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum d_i^2 H_i \\\ \sum d_i H_i \\\ \sum H_i \end{pmatrix}.
    Aqui n é o número de observações ( n=4). Cada soma é feita sobre os 4 pontos. Essa matriz é simétrica e resulta diretamente das condições de derivada zero.
  • Significado das somas:
    • \sum d_i = soma dos dias;
    • \sum d_i^2, \sum d_i^3, \sum d_i^4 são potências somadas dos dias;
    • \sum H_i,\\ \sum d_i H_i,\\ \sum d_i^2 H_i envolvem as alturas e relacionam as observações com as colunas do modelo.

Passo 3

Calcular todas as somas necessárias a partir dos dados (mostrando conta passo a passo).
  • Primeiro, listar os valores de d_i, d_i^2, d_i^3, d_i^4 e produtos com H_i:
    Para d=0: d^2=0,\\ d^3=0,\\ d^4=0,\\ dH=0,\\ d^2H=0.
    Para d=2: d^2=4,\\ d^3=8,\\ d^4=16,\\ dH=2\cdot13{,}5=27{,}0,\\ d^2H=4\cdot13{,}5=54{,}0.
    Para d=5: d^2=25,\\ d^3=125,\\ d^4=625,\\ dH=5\cdot15{,}8=79{,}0,\\ d^2H=25\cdot15{,}8=395{,}0.
    Para d=7: d^2=49,\\ d^3=343,\\ d^4=2401,\\ dH=7\cdot17{,}0=119{,}0,\\ d^2H=49\cdot17{,}0=833{,}0.
  • Agora somas:
    \begin{aligned} n &= 4,\\[4pt] \sum d_i &= 0+2+5+7 = 14,\\[4pt] \sum d_i^2 &= 0+4+25+49 = 78,\\[4pt] \sum d_i^3 &= 0+8+125+343 = 476,\\[4pt] \sum d_i^4 &= 0+16+625+2401 = 3042,\\[4pt] \sum H_i &= 12{,}0+13{,}5+15{,}8+17{,}0 = 58{,}3,\\[4pt] \sum d_i H_i &= 0+27{,}0+79{,}0+119{,}0 = 225{,}0,\\[4pt] \sum d_i^2 H_i &= 0+54{,}0+395{,}0+833{,}0 = 1282{,}0. \end{aligned}]

Passo 4

Montar as equações normais com os números e resolver passo a passo (eliminação).
  • As equações normais com os números são
    \begin{pmatrix} 3042 & 476 & 78 \\\\ 476 & 78 & 14 \\\\ 78 & 14 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1282 \\[2pt] 225 \\[2pt] 58{,}3 \end{pmatrix}.
  • Vamos eliminar sistematicamente (faço as operações de forma explícita, usando frações inteiras quando possível para evitar erros de arredondamento):
    1. Eliminar a\) nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô: - Substituir \(R_2 \leftarrow 3042\cdot R_2 - 476\cdot R_1\). Isso dá, após calcular numeradores: \[5350\,b + 2730\,c = 37109.
      (obtido multiplicando e subtraindo as linhas; as contas foram feitas com operações inteiras para manter precisão.)
      • Substituir R_3 \leftarrow 3042\cdot R_3 - 78\cdot R_1. Isso dá (lembre que \sum H_i=58{,}3 é 583/10; manipulação com esse valor conduz a) 5460\,b + 6084\,c = 773526/10.Multiplicando por 10 para ficar com inteiros: 54600\,b + 60840\,c = 773526.
    2. Agora temos o sistema em b,c:
      \begin{cases} 5350\,b + 2730\,c = 37109,\\[4pt] 54600\,b + 60840\,c = 773526. \end{cases}
      Para eliminar b\], procedemos por combinação linear. Uma forma limpa é resolver por substituição: de \(\;5350b=37109-2730c, obtemos
      b=\dfrac{37109-2730\,c}{5350}.
      Substituindo na segunda equação e simplificando cuidadosamente (multiplicando, coletando termos e isolando c) obtemos, após cálculo exato,
      3528720\,c = 42244254,
      e portanto
      c=\dfrac{42244254}{3528720} \approx 11{,}9664487.
    3. Com c encontrado, voltamos para b:
      b=\dfrac{37109-2730\,c}{5350}\approx \dfrac{37109-2730\cdot11{,}9664487}{5350}\approx 0{,}8304513.
    4. Finalmente, calculamos a usando a primeira equação original:
      a=\dfrac{1282-476\,b-78\,c}{3042}\approx \dfrac{1282-476\cdot0{,}8304513-78\cdot11{,}9664487}{3042}\approx -0{,}0153413.
  • Resultado numérico (com precisão suficiente para a prova):
    a\approx -0{,}0153413,\qquad b\approx 0{,}8304513,\qquad c\approx 11{,}9664487.
(Se quiser, na folha da prova pode usar a\approx-0{,}01534,\\ b\approx0{,}83045,\\ c\approx11{,}96645.)]

Passo 5

Verificação rápida (avaliar \varphi nos pontos para ver resíduos pequenos — mostrar contas).
  • Definir \varphi(d)=a d^2 + b d + c com os coeficientes encontrados.
    Avaliando nos pontos:
    \begin{aligned} \varphi(0) &= c \approx 11{,}96645\quad(\text{obs.: }12{,}0),\\[4pt] \varphi(2) &\approx -0{,}0153413\cdot4 +0{,}8304513\cdot2 +11{,}9664487 \approx 13{,}5656\quad(\text{obs.: }13{,}5),\\[4pt] \varphi(5) &\approx -0{,}0153413\cdot25 +0{,}8304513\cdot5 +11{,}9664487 \approx 15{,}7347\quad(\text{obs.: }15{,}8),\\[4pt] \varphi(7) &\approx -0{,}0153413\cdot49 +0{,}8304513\cdot7 +11{,}9664487 \approx 17{,}0280\quad(\text{obs.: }17{,}0). \end{aligned}
  • Os resíduos são pequenos (ordem 10^{-2} a 10^{-1} cm), então o ajuste está coerente com os dados.]

Passo 6

Estimar a altura no dia d=6 (cálculo explícito).
  • Calcular \varphi(6)=a\cdot6^{2}+b\cdot6+c. Usando os coeficientes: \varphi(6)\approx -0{,}0153413\cdot36 + 0{,}8304513\cdot6 + 11{,}9664487.Fazer as contas: -0{,}0153413\cdot36 \approx -0{,}5522868, \qquad 0{,}8304513\cdot6 \approx 4{,}9827078,então \varphi(6)\approx -0{,}5522868 + 4{,}9827078 + 11{,}9664487 \approx 16{,}3968697.Arredondando, \varphi(6)\approx 16{,}397\\ \text{cm}.

Passo 7

Interpretação e comentário sobre coerência do modelo (linguagem simples e encorajadora).
  • O coeficiente a é negativo e pequeno ( a\approx -0{,}0153), isto é, a parábola tem concavidade para baixo: crescimento que desacelera ligeiramente com o tempo. Isso faz sentido biologicamente para muitas plantas (crescimento mais rápido no começo e desaceleração depois), então o sinal de a não é surpreendente.
  • Contudo, olhando os pontos observados, as alturas variam quase de forma linear (diferenças por dia são aproximadamente constantes). A curvatura detectada é pequena — o ajuste quadrático melhora um pouco em relação a uma reta, mas não há uma forte curvatura evidente com apenas esses 4 pontos.
  • Conclusão prática: o modelo quadrático é plausível para interpolação local (entre dias 0 e 7) e dá uma estimativa razoável em d=6. Mas com tão poucos pontos e pequena curvatura, uma regressão linear também seria razoável; tenha cuidado ao extrapolar para além do intervalo dos dados (por ex., dias muito maiores), pois o termo a d^2 pode levar a previsões irreais se extrapolado sem critério.

Resposta

a\approx -0{,}0153413,\\ b\approx 0{,}8304513,\\ c\approx 11{,}9664487
\varphi(6)\approx 16{,}397\\ \text{cm}
O modelo quadrático mostra pequena curvatura negativa (desaceleração do crescimento) e ajusta bem localmente; porém os dados são quase lineares, então a curvatura é pequena — modelo plausível para interpolação, mas tenha cuidado ao extrapolar.

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