Aqui n é o número de observações (n=4). Cada soma é feita sobre os 4 pontos. Essa matriz é simétrica e resulta diretamente das condições de derivada zero.
Significado das somas:
\sum d_i = soma dos dias;
\sum d_i^2, \sum d_i^3, \sum d_i^4 são potências somadas dos dias;
\sum H_i,\\ \sum d_i H_i,\\ \sum d_i^2 H_i envolvem as alturas e relacionam as observações com as colunas do modelo.
Passo 3
Calcular todas as somas necessárias a partir dos dados (mostrando conta passo a passo).
Primeiro, listar os valores de d_i, d_i^2, d_i^3, d_i^4 e produtos com H_i:
Para d=0: d^2=0,\\ d^3=0,\\ d^4=0,\\ dH=0,\\ d^2H=0.
Para d=2: d^2=4,\\ d^3=8,\\ d^4=16,\\ dH=2\cdot13{,}5=27{,}0,\\ d^2H=4\cdot13{,}5=54{,}0.
Para d=5: d^2=25,\\ d^3=125,\\ d^4=625,\\ dH=5\cdot15{,}8=79{,}0,\\ d^2H=25\cdot15{,}8=395{,}0.
Para d=7: d^2=49,\\ d^3=343,\\ d^4=2401,\\ dH=7\cdot17{,}0=119{,}0,\\ d^2H=49\cdot17{,}0=833{,}0.
Vamos eliminar sistematicamente (faço as operações de forma explícita, usando frações inteiras quando possível para evitar erros de arredondamento):
Eliminar a\) nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
- Substituir \(R_2 \leftarrow 3042\cdot R_2 - 476\cdot R_1\). Isso dá, após calcular numeradores:
\[5350\,b + 2730\,c = 37109.
(obtido multiplicando e subtraindo as linhas; as contas foram feitas com operações inteiras para manter precisão.)
Substituir R_3 \leftarrow 3042\cdot R_3 - 78\cdot R_1. Isso dá (lembre que \sum H_i=58{,}3 é 583/10; manipulação com esse valor conduz a)5460\,b + 6084\,c = 773526/10.Multiplicando por 10 para ficar com inteiros:54600\,b + 60840\,c = 773526.
Interpretação e comentário sobre coerência do modelo (linguagem simples e encorajadora).
O coeficiente a é negativo e pequeno (a\approx -0{,}0153), isto é, a parábola tem concavidade para baixo: crescimento que desacelera ligeiramente com o tempo. Isso faz sentido biologicamente para muitas plantas (crescimento mais rápido no começo e desaceleração depois), então o sinal de a não é surpreendente.
Contudo, olhando os pontos observados, as alturas variam quase de forma linear (diferenças por dia são aproximadamente constantes). A curvatura detectada é pequena — o ajuste quadrático melhora um pouco em relação a uma reta, mas não há uma forte curvatura evidente com apenas esses 4 pontos.
Conclusão prática: o modelo quadrático é plausível para interpolação local (entre dias 0 e 7) e dá uma estimativa razoável em d=6. Mas com tão poucos pontos e pequena curvatura, uma regressão linear também seria razoável; tenha cuidado ao extrapolar para além do intervalo dos dados (por ex., dias muito maiores), pois o termo a d^2 pode levar a previsões irreais se extrapolado sem critério.
Resposta
a\approx -0{,}0153413,\\ b\approx 0{,}8304513,\\ c\approx 11{,}9664487 \varphi(6)\approx 16{,}397\\ \text{cm}
O modelo quadrático mostra pequena curvatura negativa (desaceleração do crescimento) e ajusta bem localmente; porém os dados são quase lineares, então a curvatura é pequena — modelo plausível para interpolação, mas tenha cuidado ao extrapolar.