Considere os valores medidos da intensidade luminosa I, que decai com a distância x de uma fonte luminosa:
x 0.5 0.8 1.2 1.6 2.0 2.5 3.0
I 8.20 6.10 4.15 3.02 2.20 1.65 1.20
Considere o modelo exponencial:
I(x) \approx \varphi(x)=\alpha_{1} e^{-\alpha_{2} x} .

Passo 1

O enunciado fornece medições da intensidade luminosa I em função da distância x e propõe o modelo exponencial
I(x)\approx\varphi(x)=\alpha_{1}e^{-\alpha_{2}x}.
Os dados fornecidos são (peguei todos os valores do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} x & 0{,}5 & 0{,}8 & 1{,}2 & 1{,}6 & 2{,}0 & 2{,}5 & 3{,}0\\hline I & 8{,}20 & 6{,}10 & 4{,}15 & 3{,}02 & 2{,}20 & 1{,}65 & 1{,}20 \end{array}
O que se pede implicitamente: determinar os parâmetros \alpha_{1} e \alpha_{2} que melhor ajustam o modelo exponencial a esses dados (ajuste pelo método dos mínimos quadrados).

Passo 2

Estratégia de resolução (sem ainda calcular): linearizar o modelo para aplicar regressão linear simples.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
\ln I(x)=\ln\alpha_{1}-\alpha_{2}x.
  • Definindo \displaystyle y=\ln I, \displaystyle a=\ln\alpha_{1} e \displaystyle b=-\alpha_{2}, a relação fica linear:
y=a+bx.
  • Assim basta fazer regressão linear de y contra x por mínimos quadrados; depois recuperamos \alpha_{1}=e^{a} e \alpha_{2}=-b.
Breve motivo: a transformação em log converte o produto/exponencial em soma, permitindo usar as fórmulas simples da regressão linear. (Na prova: sempre diga que você linearizou e que está aplicando mínimos quadrados.)

Passo 3

Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (para n pontos (x_i,y_i)):
b=\frac{n\sum_{i}x_i y_i - \big(\sum_{i}x_i\big)\big(\sum_{i}y_i\big)}{\,n\sum_{i}x_i^2 - \big(\sum_{i}x_i\big)^2\,},
a=\frac{\sum_{i}y_i - b\sum_{i}x_i}{n}.
Aqui n é o número de pontos (aqui n=7). Explicando as variáveis: x_i são as distâncias, y_i=\ln I_i são os logaritmos das intensidades, \sum indica soma sobre todos os pontos. Depois calcularemos \alpha_{1}=e^{a} e \alpha_{2}=-b.

Passo 4

Calcular y_i=\ln I_i para cada ponto (usei log natural; mostro aproximações com 4 casas decimais):
\begin{aligned} \ln(8{,}20)&\approx 2{,}1041,\\\ \ln(6{,}10)&\approx 1{,}8083,\\\ \ln(4{,}15)&\approx 1{,}4231,\\\ \ln(3{,}02)&\approx 1{,}1053,\\\ \ln(2{,}20)&\approx 0{,}7885,\\\ \ln(1{,}65)&\approx 0{,}5008,\\\ \ln(1{,}20)&\approx 0{,}1823. \end{aligned}
Portanto a sequência y_i usada na regressão é aproximadamente
\{2{,}1041,\;1{,}8083,\;1{,}4231,\;1{,}1053,\;0{,}7885,\;0{,}5008,\;0{,}1823\}.

Passo 5

Calcular as somas necessárias (faço as operações passo a passo; arredondei resultados finais das somas com 4 casas decimais):
  • soma das x_i:
\sum x_i=0{,}5+0{,}8+1{,}2+1{,}6+2{,}0+2{,}5+3{,}0=11{,}6.
  • soma dos y_i:
\sum y_i\approx 2{,}1041+1{,}8083+1{,}4231+1{,}1053+0{,}7885+0{,}5008+0{,}1823\approx 7{,}9124.
  • soma dos quadrados x_i^2:
\sum x_i^2=0{,}25+0{,}64+1{,}44+2{,}56+4{,}00+6{,}25+9{,}00=24{,}14.
  • soma dos produtos x_i y_i (cada termo calculado e somado):
\sum x_i y_i\approx 1{,}05205+1{,}44664+1{,}70772+1{,}76848+1{,}5770+1{,}2520+0{,}5469\approx 9{,}3508.
Verifique que n=7.

Passo 6

Aplicar as fórmulas para obter b e a.
  • Numerador e denominador para b:
n\sum x_i y_i=7\cdot 9{,}3508\approx 65{,}4556,
\big(\sum x_i\big)\big(\sum y_i\big)=11{,}6\cdot 7{,}9124\approx 91{,}7838,
n\sum x_i^2=7\cdot 24{,}14=168{,}98,
\big(\sum x_i\big)^2=11{,}6^2=134{,}56.
Logo
b=\frac{65{,}4556-91{,}7838}{168{,}98-134{,}56}=\frac{-26{,}3282}{34{,}42}\approx -0{,}7649.
  • Agora a:
a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}=\frac{7{,}9124 - (-0{,}7649)\cdot 11{,}6}{7} \approx\frac{7{,}9124+8{,}8728}{7}\approx\frac{16{,}7852}{7}\approx 2{,}3980.

Passo 7

Recuperar \alpha_{1} e \alpha_{2}:
\alpha_{1}=e^{a}=e^{2{,}3980}\approx 11{,}00,
\alpha_{2}=-b\approx 0{,}7649\approx 0{,}765.
Interpretação rápida: \alpha_{1} é (no modelo) a intensidade extrapolada em x=0 (unidades iguais às de I), e \alpha_{2} é a constante de decaimento por unidade de distância. Dica para a prova: sempre mostre que linearizou, calcule as somas e aplique as fórmulas explícitas acima — isso sobe pontos.

Resposta

\alpha_{1}\approx 11{,}00
\alpha_{2}\approx 0{,}765

Exercícios relacionados