Considere os valores medidos da intensidade luminosa
, que decai com a distância
de uma fonte luminosa:
0.5
0.8
1.2
1.6
2.0
2.5
3.0
8.20
6.10
4.15
3.02
2.20
1.65
1.20
Considere o modelo exponencial:
|
|
0.5 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
|
|
8.20 | 6.10 | 4.15 | 3.02 | 2.20 | 1.65 | 1.20 |
Passo 1
O enunciado fornece medições da intensidade luminosa
em função da distância
e propõe o modelo exponencial
Os dados fornecidos são (peguei todos os valores do enunciado):
O que se pede implicitamente: determinar os parâmetros
e
que melhor ajustam o modelo exponencial a esses dados (ajuste pelo método dos mínimos quadrados).
Passo 2
Estratégia de resolução (sem ainda calcular): linearizar o modelo para aplicar regressão linear simples.
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
- Definindo
, e , a relação fica linear:
- Assim basta fazer regressão linear de
contra por mínimos quadrados; depois recuperamos e .
Breve motivo: a transformação em log converte o produto/exponencial em soma, permitindo usar as fórmulas simples da regressão linear. (Na prova: sempre diga que você linearizou e que está aplicando mínimos quadrados.)
Passo 3
Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (para
pontos
):
Aqui
é o número de pontos (aqui
). Explicando as variáveis:
são as distâncias,
são os logaritmos das intensidades,
indica soma sobre todos os pontos. Depois calcularemos
e
.
Passo 4
Calcular
para cada ponto (usei log natural; mostro aproximações com 4 casas decimais):
Portanto a sequência
usada na regressão é aproximadamente
.
Passo 5
Calcular as somas necessárias (faço as operações passo a passo; arredondei resultados finais das somas com 4 casas decimais):
- soma das
:
- soma dos
:
- soma dos quadrados
:
- soma dos produtos
(cada termo calculado e somado):
Verifique que
.
Passo 6
Aplicar as fórmulas para obter
e
.
- Numerador e denominador para
:
Logo
- Agora
:
Passo 7
Recuperar
e
:
Interpretação rápida:
é (no modelo) a intensidade extrapolada em
(unidades iguais às de
), e
é a constante de decaimento por unidade de distância. Dica para a prova: sempre mostre que linearizou, calcule as somas e aplique as fórmulas explícitas acima — isso sobe pontos.