1. O salário médio dos funcionários de uma empresa é de \mathrm{R} \ 800,00 , com desvio-padrão deã\mathrm{R} $300,00 (não se consideram os salários da direção da empresa). Qual o salário que é mínimo paraãáçãáéí30,5 %$ dos funcionários que mais recebem?

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Salário médio: \mu=\mathrm{R}\$\;800{,}00.
  • Desvio-padrão: \sigma=\mathrm{R}\$\;300{,}00.
  • Queremos o salário mínimo que pertence aos 30{,}5\% dos funcionários que mais recebem (ou seja, o ponto de corte para os top 30{,}5\%).
O que o problema pede:
  • Encontrar o valor x tal que exatamente 30{,}5\% dos funcionários têm salário maior ou igual a x.

Passo 2

Entendendo o que significa “salários dos 30{,}5\% que mais recebem”.
  • Se a fração dos funcionários que ganham mais do que x é 30{,}5\%, isso significa
P(X \ge x)=0{,}305.
  • A probabilidade acumulada até x (isto é, a fração que ganha menos que x) é, então,
P(X < x)=1-0{,}305=0{,}695.
Neste tipo de exercício, assume-se que a distribuição dos salários pode ser aproximada por uma distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma. Essa suposição permite usar a curva normal padrão para achar o percentil correspondente.

Passo 3

Padronização (convertendo para a Normal Padrão).
  • Se X é a variável salário com média \mu e desvio \sigma, define-se a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão (média 0 e desvio 1).
  • A relação entre as probabilidades é
P(X < x)=P\!\left(Z<\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
Queremos achar x tal que P(X < x)=0{,}695. Portanto precisamos do valor z que satisfaz
P(Z<z)=0{,}695,
e depois inverter a padronização para obter x por
x=\mu+z\sigma.
Explanação rápida do que é z: é quantos desvios-padrão acima (se positivo) ou abaixo (se negativo) da média o ponto x está.

Passo 4

Encontrar o quantil z da Normal Padrão correspondente a 0{,}695.
  • Em tabelas da normal padrão ou usando inverso da função de distribuição, busca-se z tal que \Phi(z)=0{,}695.
  • Valores usuais da tabela:
    • \Phi(0{,}50)\approx0{,}6915.
    • \Phi(0{,}51)\approx0{,}6950.
  • Como 0{,}695 coincide muito bem com \Phi(0{,}51), tomamos
z\approx0{,}51.
(Dica prática: se a tabela der um valor ligeiramente diferente, pode-se interpolar; aqui a correspondência é direta.)

Passo 5

Calcular x a partir de z.
  • Usando a fórmula de despadronização:
x=\mu+z\sigma.
  • Substituindo \mu=\mathrm{R}\$\;800{,}00, \sigma=\mathrm{R}\$\;300{,}00 e z=0{,}51:
x=\mathrm{R}\$\;800{,}00 + 0{,}51\cdot \mathrm{R}\$\;300{,}00.
  • Calcule a parte 0{,}51\cdot300{,}00:
0{,}51\cdot300{,}00 = 153{,}00.
  • Somando:
x=\mathrm{R}\$\;800{,}00 + \mathrm{R}\$\;153{,}00 = \mathrm{R}\$\;953{,}00.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida.
  • O valor encontrado significa que aproximadamente 30{,}5\% dos funcionários ganham \mathrm{R}\$\;953{,}00 ou mais.
  • Pequenas diferenças podem surgir se usar uma tabela com mais casas decimais ou um software que dê z com mais precisão; nesse caso o resultado muda só alguns centavos. Para provas, \mathrm{R}\$\;953{,}00 é o valor a ser esperado.

Resposta

\mathrm{R}\$\;953{,}00

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