Mirian comprou um carro novo no valor de R$38500,00. Sabendo que este carro sofre uma desvalorização de 38500,00 Sabendo que este carro sofre uma desvalorização de ao ano e a fórmula para esta desvalorização, após ao ano e a fórmula para esta desvalorização, após anos, é anos, é . Determine:
a) Qual será o valor do carro após um ano?
b) Em quanto tempo o valor do carro se reduzirá a metade do valor inicial?
c) Em quanto tempo o valor do carro se reduzirá a um quarto do valor inicial?

Passo 1

O enunciado dá o valor inicial do carro V0=38500 reais e a taxa de depreciação de 20 % ao ano. A função que descreve o valor após t anos é
V(t)=38500,(0,8)^t
Precisamos calcular:
a) V(1).
b) t tal que V(t)=tfrac385002.
c) t tal que V(t)=tfrac385004.

Passo 2

Para (a), basta substituir t=1 em V(t):
V(1) = 38500 cdot 0,8 = 30800
Logo, após um ano o carro valerá R$ 30800,00.

Passo 3

Para (b), pedem quando V(t) cai à metade de 38500, isto é, V(t)=19250. Então
38500,(0,8)^t=19250 Longrightarrow (0,8)^t=tfrac12
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
t=ln(tfrac12)ln(0,8)approx3,11

Passo 4

Para (c), pedem quando V(t) cai a um quarto de 38500, isto é, V(t)=9625. Então
38500,(0,8)^t=9625 Longrightarrow (0,8)^t=tfrac14
De modo análogo,
t=ln(tfrac14)ln(0,8)approx6,21

Resposta

(a) R$ 30800,00
(b) Aproximadamente 3,11 anos
(c) Aproximadamente 6,21 anos

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