Uma partícula move-se segundo a função posição
onde
está em metros e
em segundos.
Determine a velocidade instantânea em
.
Determine a velocidade instantânea em
Passo 1
O enunciado nos dá a função posição
com
em metros e
em segundos. A pergunta é: determinar a velocidade instantânea no instante
.
Informações relevantes:
- Função posição:
- Unidade de
: metros. - Unidade de
: segundos. - Pedido: velocidade instantânea em
.
Passo 2
Entendendo o que é velocidade instantânea (a ideia por trás):
- A velocidade média entre dois instantes
e é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
onde
é um intervalo de tempo pequeno (positivo ou negativo).
- A velocidade instantânea em
é o limite da velocidade média quando esse intervalo tende a zero:
Fisicamente, isso representa a taxa de variação de
em relação a
exatamente naquele instante.
Passo 3
Calcular a expressão da velocidade instantânea pelo limite (fazendo as contas passo a passo, como na prova):
- Primeiro calcule
. Substituindo em :
- Expandir os termos:
Portanto
- Agora compute a diferença
. Lembre que . Subtraindo:
- Cancele termos iguais (
, , ) e fique com:
- Divida pela
para obter a velocidade média:
- Agora faça o limite quando
:
Conclusão desta etapa: a velocidade instantânea geral é
Passo 4
Avaliar a velocidade instantânea em
: substituir
em
:
Unidade: metros por segundo, então o resultado é
. Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a partícula está se deslocando no sentido negativo do eixo (está voltando para valores menores de
) no instante
.
Passo 5
Atalho útil para a prova (se já conhece derivadas): a velocidade instantânea é simplesmente a derivada
. Regras básicas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de constante é
.
Aplicando diretamente a:
o que coincide com o que obtivemos pelo limite. Então
.