Uma partícula move-se segundo a função posição
s(t)=t^{2}-6 t+8
onde s está em metros e t em segundos.
Determine a velocidade instantânea em t=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função posição s(t)=t^{2}-6t+8 com s em metros e t em segundos. A pergunta é: determinar a velocidade instantânea no instante t=2.
Informações relevantes:
  • Função posição: s(t)=t^{2}-6t+8.
  • Unidade de s: metros.
  • Unidade de t: segundos.
  • Pedido: velocidade instantânea em t=2.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade instantânea (a ideia por trás):
  • A velocidade média entre dois instantes t e t+\Delta t é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
v_{\text{média}}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t},é
onde \Delta t é um intervalo de tempo pequeno (positivo ou negativo).
  • A velocidade instantânea em t é o limite da velocidade média quando esse intervalo \Delta t tende a zero:
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.
Fisicamente, isso representa a taxa de variação de s em relação a t exatamente naquele instante.

Passo 3

Calcular a expressão da velocidade instantânea pelo limite (fazendo as contas passo a passo, como na prova):
  1. Primeiro calcule s(t+\Delta t). Substituindo t+\Delta t em s:
s(t+\Delta t)=(t+\Delta t)^{2}-6(t+\Delta t)+8.
  1. Expandir os termos:
(t+\Delta t)^{2}=t^{2}+2t\Delta t+(\Delta t)^{2},
-6(t+\Delta t)=-6t-6\Delta t.
Portanto
s(t+\Delta t)=t^{2}+2t\Delta t+(\Delta t)^{2}-6t-6\Delta t+8.
  1. Agora compute a diferença s(t+\Delta t)-s(t). Lembre que s(t)=t^{2}-6t+8. Subtraindo:
s(t+\Delta t)-s(t)=\bigl(t^{2}+2t\Delta t+(\Delta t)^{2}-6t-6\Delta t+8\bigr)-\bigl(t^{2}-6t+8\bigr).
  1. Cancele termos iguais ( t^{2}, -6t, +8) e fique com:
s(t+\Delta t)-s(t)=2t\Delta t+(\Delta t)^{2}-6\Delta t.
  1. Divida pela \Delta t para obter a velocidade média:
\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{2t\Delta t+(\Delta t)^{2}-6\Delta t}{\Delta t}=2t+\Delta t-6.
  1. Agora faça o limite quando \Delta t\to 0:
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\bigl(2t+\Delta t-6\bigr)=2t-6.
Conclusão desta etapa: a velocidade instantânea geral é v(t)=2t-6.

Passo 4

Avaliar a velocidade instantânea em t=2: substituir t=2 em v(t):
v(2)=2\cdot 2-6=4-6=-2.
Unidade: metros por segundo, então o resultado é -2\\ \text{m/s}. Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a partícula está se deslocando no sentido negativo do eixo (está voltando para valores menores de s) no instante t=2.

Passo 5

Atalho útil para a prova (se já conhece derivadas): a velocidade instantânea é simplesmente a derivada v(t)=s'(t). Regras básicas:
  • Derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
  • Derivada de a t é a.
  • Derivada de constante é 0.
    Aplicando diretamente a s(t)=t^{2}-6t+8:
s'(t)=2t-6,
o que coincide com o que obtivemos pelo limite. Então v(2)=2\cdot2-6=-2\\ \text{m/s}.

Resposta

-2\\ \text{m/s}

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