A altura relativa à hipotenusa determina sobre ela segmentos de medidas 3 cm e 4 cm . Quanto mede os catetos deste triângulo?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um triângulo retângulo em que a altura relativa à hipotenusa divide essa hipotenusa em dois segmentos de comprimentos 3 cm e 4 cm. O conteúdo envolve as relações métricas no triângulo retângulo e semelhança de triângulos, em particular as fórmulas que relacionam catetos, hipotenusa e projeções na hipotenusa.

Passo 2

Calcular a hipotenusa e a altura: primeiro somamos os segmentos para obter a hipotenusa completa.
Hipotenusa:
c = 3 + 4 = 7
Em seguida, usamos a relação da altura relativa à hipotenusa (que vem da semelhança entre os triângulos formados):
h^2 = 3cdot 4 implies h = raiz12 = 2raiz3

Passo 3

Encontrar os catetos usando as relações métricas: cada cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pelo segmento adjacente a ele. Se chamarmos os catetos de a e b, com projeções 3 e 4 respectivamente, temos:
a^2 = c cdot 3 = 7 cdot 3 = 21 implies a = raiz21
b^2 = c cdot 4 = 7 cdot 4 = 28 implies b = raiz28 = 2raiz7

Resposta

Os catetos medem raiz21,cm e 2raiz7,cm.

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