As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média
e desvio padrão
. Encontre a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso medir:
entre 1,50 e
entre 1,50 e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente sabe que as alturas dos alunos dessa escola seguem uma distribuição normal, com média de
e desvio padrão de
. O que precisamos encontrar é a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter uma altura entre
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e calcular os valores Z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é distribuição normal. Ela é uma distribuição de probabilidade em forma de sino, onde a média é o ponto central. O desvio padrão nos diz o quão espalhados estão os dados em relação à média. Para encontrar a probabilidade que queremos, precisamos converter as alturas dadas em valores Z, que nos mostram quantos desvios padrão uma altura está da média.
Passo 3
Vamos calcular os valores Z para as alturas
e
. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ X $ é o valor da altura,
- $ \mu $ é a média,
- $ \sigma $ é o desvio padrão.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos os valores Z, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a cada um deles usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de estatística.
Para $ Z_1 \approx -0,3333 $:
A probabilidade $ P(Z < -0,3333) $ é aproximadamente 0,3694.
A probabilidade $ P(Z < -0,3333) $ é aproximadamente 0,3694.
Para $ Z_2 \approx 0,6667 $:
A probabilidade $ P(Z < 0,6667) $ é aproximadamente 0,7475.
A probabilidade $ P(Z < 0,6667) $ é aproximadamente 0,7475.
Passo 5
Para encontrar a probabilidade de a altura estar entre
e
, subtraímos a probabilidade menor da maior:
Resposta
A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter uma altura entre
e
é de aproximadamente
.