As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso medir:
entre 1,50 e 1,80 m

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente sabe que as alturas dos alunos dessa escola seguem uma distribuição normal, com média de 1,60 m e desvio padrão de 0,30 m. O que precisamos encontrar é a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter uma altura entre 1,50 m e 1,80 m. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e calcular os valores Z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é distribuição normal. Ela é uma distribuição de probabilidade em forma de sino, onde a média é o ponto central. O desvio padrão nos diz o quão espalhados estão os dados em relação à média. Para encontrar a probabilidade que queremos, precisamos converter as alturas dadas em valores Z, que nos mostram quantos desvios padrão uma altura está da média.

Passo 3

Vamos calcular os valores Z para as alturas 1,50 m e 1,80 m. A fórmula para isso é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor da altura,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.
Para X :
mu
Para sigma :
1,50 m

Passo 4

Agora que temos os valores Z, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a cada um deles usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de estatística.
Para $ Z_1 \approx -0,3333 $:
A probabilidade $ P(Z < -0,3333) $ é aproximadamente 0,3694.
Para $ Z_2 \approx 0,6667 $:
A probabilidade $ P(Z < 0,6667) $ é aproximadamente 0,7475.

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de a altura estar entre 1,50 m e 1,80 m, subtraímos a probabilidade menor da maior:
P(1,50 <= X <= 1,80) = P(Z < 0,6667) - P(Z < -0,3333) = 0,7475 - 0,3694 = 0,3781

Resposta

A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter uma altura entre 1,50 m e 1,80 m é de aproximadamente 37,81%.

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