Considere f(x)= cx^2, & x >= 10 0, & x<10
Determine o valor da constante c para f(x) seja uma função densidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre funções densidade na área de probabilidade. A gente precisa encontrar o valor da constante $ c $ para que a função $ f(x) $ seja uma função densidade válida. Para isso, vamos lembrar que uma função densidade deve ser não negativa e a integral dela em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que você deu:
f(x) = cx^2, & x >= 10 0, & x < 10
Como a função é zero para $ x < 10 $, a gente só precisa se preocupar com $ x \geq 10 $.

Passo 3

Agora, para que $ f(x) $ seja uma função densidade, a integral dela de -infinito até +infinito deve ser igual a 1. Mas como $ f(x) = 0 $ para $ x < 10 $, a gente pode simplificar a integral para partir de 10 até +infinito:
f(x)

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de $ \frac{1}{x^{2}} $ em relação a $ x $ é:
1x^2
Então, aplicando os limites de 10 a +infinito:
x

Passo 5

Agora, igualamos essa expressão a 1 para satisfazer a condição da função densidade:
c ( 110 ) = 1
Resolvendo para $ c $:
c

Resposta

O valor da constante $ c $ que torna $ f(x) $ uma função densidade é 10.

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