Considere
Determine o valor da constante
para
seja uma função densidade.
Determine o valor da constante
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre funções densidade na área de probabilidade. A gente precisa encontrar o valor da constante $ c $ para que a função $ f(x) $ seja uma função densidade válida. Para isso, vamos lembrar que uma função densidade deve ser não negativa e a integral dela em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que você deu:
Como a função é zero para $ x < 10 $, a gente só precisa se preocupar com $ x \geq 10 $.
Passo 3
Agora, para que $ f(x) $ seja uma função densidade, a integral dela de -infinito até +infinito deve ser igual a 1. Mas como $ f(x) = 0 $ para $ x < 10 $, a gente pode simplificar a integral para partir de 10 até +infinito:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de $ \frac{1}{x^{2}} $ em relação a $ x $ é:
Então, aplicando os limites de 10 a +infinito:
Passo 5
Agora, igualamos essa expressão a 1 para satisfazer a condição da função densidade:
Resolvendo para $ c $:
Resposta
O valor da constante $ c $ que torna $ f(x) $ uma função densidade é 10.