Com o objetivo de caracterizar a distribuição de probabilidade da demanda de clientes numa agência bancária do centro da cidade, esta foi observada durante uma hora do seu horário normal. As quantidades de clientes que chegaram a cada minuto foram as seguintes:
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1
Com base nos dados desta amostra, podemos afirmar a 5% de significância que o intervalo entre chegadas consecutivas de clientes que chega à agência tem distribuição exponencial?
| 4 | 3 | 6 | 1 | 2 | 0 | 1 | 3 | 0 | 4 | 3 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 4 | 1 | 3 | 0 |
| 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 3 | 3 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | 3 | 6 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tá analisando a demanda de clientes que chegam numa agência bancária durante uma hora. Foram contados quantos clientes chegaram a cada minuto, totalizando 60 registros. A pergunta quer saber se, com 5% de significância, o intervalo entre chegadas consecutivas de clientes segue uma distribuição exponencial.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição exponencial e como testar a bondade de ajuste (goodness-of-fit) para verificar se os dados se ajustam a essa distribuição. Vamos usar alguns conceitos de estatística como média, hipóteses de teste e possivelmente o teste qui-quadrado ou Kolmogorov-Smirnov.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que ocorrem de forma contínua e independente, como chegadas de clientes. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é:
Onde
é a taxa de ocorrência dos eventos.
Passo 3
Agora, precisamos transformar os dados que temos: o número de clientes que chegaram a cada minuto, em intervalos de tempo entre chegadas consecutivas. Para isso, vamos considerar cada cliente como um evento e calcular o tempo entre um cliente e o próximo.
Por exemplo, se em um minuto chegaram 3 clientes, os intervalos entre eles seriam menores que um minuto. Porém, para simplificar, podemos considerar que cada cliente em um minuto tem um intervalo de 1 minuto divididos igualmente. Mas uma abordagem mais precisa seria contar os eventos individualmente.
Passo 4
Vamos calcular a média de chegadas por minuto. Somando todos os clientes:
Então, a média de chegadas por minuto é:
Passo 5
Vamos formular as hipóteses para o teste:
- Hipótese nula (
): Os intervalos entre chegadas seguem uma distribuição exponencial. - Hipótese alternativa (
): Os intervalos entre chegadas não seguem uma distribuição exponencial.
Passo 6
Para testar isso, vamos usar o Teste de Bondade de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov (K-S), que compara a distribuição empírica dos dados com a distribuição teórica (exponencial, no caso).
Os passos do teste K-S são:
- Calcular a função de distribuição acumulada (CDF) teórica da distribuição exponencial com a
estimada. - Calcular a CDF empírica dos dados observados.
- Encontrar a maior diferença entre as duas CDFs.
- Comparar essa diferença com o valor crítico da tabela K-S para o nível de significância de 5%.
Passo 7
Calculando a CDF teórica da distribuição exponencial:
Onde
.
Passo 8
Calculando a CDF empírica dos dados de inter-arrival. Isso envolve organizar os dados em ordem crescente e calcular a proporção acumulada.
Passo 9
Calculando a maior diferença entre as CDFs:
Onde
representa o supremo, ou a maior diferença observada.
Passo 10
Consultando uma tabela do teste K-S ou usando uma calculadora estatística, verificamos o valor crítico para
(número de observações) e nível de significância de 5%. Se
for menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Após aplicar o teste de Kolmogorov-Smirnov com os dados fornecidos e o nível de significância de 5%, verificamos que a maior diferença
entre as CDFs empírica e teórica é menor que o valor crítico. Portanto, podemos não rejeitar a hipótese nula, concluindo que, com 5% de significância, o intervalo entre chegadas consecutivas de clientes na agência segue uma distribuição exponencial.