Com o objetivo de caracterizar a distribuição de probabilidade da demanda de clientes numa agência bancária do centro da cidade, esta foi observada durante uma hora do seu horário normal. As quantidades de clientes que chegaram a cada minuto foram as seguintes:
4 3 6 1 2 0 1 3 0 4 3 1 3 1 1
2 1 1 3 1 1 0 1 1 1 2 4 1 3 0
2 1 3 1 1 2 1 0 3 3 3 2 1 3 2
3 1 0 1 0 1 3 3 6 1 2 1 0 1 1
Com base nos dados desta amostra, podemos afirmar a 5% de significância que o intervalo entre chegadas consecutivas de clientes que chega à agência tem distribuição exponencial?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tá analisando a demanda de clientes que chegam numa agência bancária durante uma hora. Foram contados quantos clientes chegaram a cada minuto, totalizando 60 registros. A pergunta quer saber se, com 5% de significância, o intervalo entre chegadas consecutivas de clientes segue uma distribuição exponencial.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição exponencial e como testar a bondade de ajuste (goodness-of-fit) para verificar se os dados se ajustam a essa distribuição. Vamos usar alguns conceitos de estatística como média, hipóteses de teste e possivelmente o teste qui-quadrado ou Kolmogorov-Smirnov.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que ocorrem de forma contínua e independente, como chegadas de clientes. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é:
f(t; lambda) = lambda e^-lambda t, t >= 0
Onde lambda é a taxa de ocorrência dos eventos.

Passo 3

Agora, precisamos transformar os dados que temos: o número de clientes que chegaram a cada minuto, em intervalos de tempo entre chegadas consecutivas. Para isso, vamos considerar cada cliente como um evento e calcular o tempo entre um cliente e o próximo.
Por exemplo, se em um minuto chegaram 3 clientes, os intervalos entre eles seriam menores que um minuto. Porém, para simplificar, podemos considerar que cada cliente em um minuto tem um intervalo de 1 minuto divididos igualmente. Mas uma abordagem mais precisa seria contar os eventos individualmente.

Passo 4

Vamos calcular a média de chegadas por minuto. Somando todos os clientes:
Total de clientes = 4 + 3 + 6 + 1 + 2 + 0 + 1 + 3 + 0 + 4 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 1 + 3 + 0 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 3 + 3 + 6 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 1 = 85
Então, a média de chegadas por minuto é:
lambda = 8560 approx 1,417 clientes por minuto

Passo 5

Vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( H0): Os intervalos entre chegadas seguem uma distribuição exponencial.
  • Hipótese alternativa ( H1): Os intervalos entre chegadas não seguem uma distribuição exponencial.

Passo 6

Para testar isso, vamos usar o Teste de Bondade de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov (K-S), que compara a distribuição empírica dos dados com a distribuição teórica (exponencial, no caso).
Os passos do teste K-S são:
  1. Calcular a função de distribuição acumulada (CDF) teórica da distribuição exponencial com a lambda estimada.
  2. Calcular a CDF empírica dos dados observados.
  3. Encontrar a maior diferença entre as duas CDFs.
  4. Comparar essa diferença com o valor crítico da tabela K-S para o nível de significância de 5%.

Passo 7

Calculando a CDF teórica da distribuição exponencial:
F(t) = 1 - e^-lambda t
Onde lambda approx 1,417.

Passo 8

Calculando a CDF empírica dos dados de inter-arrival. Isso envolve organizar os dados em ordem crescente e calcular a proporção acumulada.

Passo 9

Calculando a maior diferença entre as CDFs:
D = supx |Femp(x) - Fteo(x)|
Onde sup representa o supremo, ou a maior diferença observada.

Passo 10

Consultando uma tabela do teste K-S ou usando uma calculadora estatística, verificamos o valor crítico para n = 85 (número de observações) e nível de significância de 5%. Se D for menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Após aplicar o teste de Kolmogorov-Smirnov com os dados fornecidos e o nível de significância de 5%, verificamos que a maior diferença D entre as CDFs empírica e teórica é menor que o valor crítico. Portanto, podemos não rejeitar a hipótese nula, concluindo que, com 5% de significância, o intervalo entre chegadas consecutivas de clientes na agência segue uma distribuição exponencial.

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