As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso medir:
mais que 1,75 m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de estatística envolvendo a distribuição normal. A gente sabe a média das alturas dos alunos é de 1,60 m e o desvio padrão é 0,30 m. A pergunta é: qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter uma altura maior que 1,75 m? Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão e fazer alguns cálculos com a fórmula de padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição normal. É um tipo de distribuição de probabilidade que é simétrica em torno da média, mostrando que os dados próximos à média são mais frequentes. Aqui, a média ( mu) é 1,60 m e o desvio padrão ( sigma) é 0,30 m.

Passo 3

O próximo passo é padronizar a altura que a gente quer encontrar a probabilidade, que é 1,75 m. Para isso, usamos a fórmula de padronização:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que estamos analisando ( 1,75 m)
  • mu é a média ( 1,60 m)
  • sigma é o desvio padrão ( 0,30 m)

Passo 4

Vamos calcular o valor de z substituindo os valores na fórmula:
z = 1,75 - 1,600,30 = 0,150,30 = 0,5
Então, o valor de z é 0,5.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a z = 0,5 na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a probabilidade de um valor ser menor que z. Então, vamos procurar na tabela o valor de z = 0,5.
Geralmente, a tabela mostra que para z = 0,5, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,6915. Isso significa que há 69,15% de chance de um aluno ter uma altura menor que 1,75 m.

Passo 6

Mas a gente quer a probabilidade de um aluno ter uma altura maior que 1,75 m. Como a distribuição total é 100%, subtraímos a probabilidade acumulada de 1:
P(X > 1,75) = 1 - P(X <= 1,75) = 1 - 0,6915 = 0,3085

Resposta

A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso medir mais que 1,75 m é de aproximadamente 30,85%.

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