As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso medir:
entre 1,54 e 1,58 m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a distribuição das alturas dos alunos de uma escola, que segue uma distribuição normal com média de 1,60 , m e desvio padrão de 0,30 , m. O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de, ao escolhermos um aluno aleatoriamente, ele ter uma altura entre 1,54 , m e 1,58 , m. Para isso, vamos usar a distribuição normal e os conceitos de média, desvio padrão e a tabela da distribuição normal padrão (z).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a distribuição normal é aquela onde os dados estão distribuídos de forma simétrica em torno da média. A média ( mu) é 1,60 , m e o desvio padrão ( sigma) é 0,30 , m. Queremos saber a probabilidade de um aluno estar entre 1,54 , m e 1,58 , m.

Passo 3

Para encontrar essa probabilidade, vamos transformar as alturas em valores padronizados chamados de z. A fórmula para calcular o z é:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor da altura que queremos padronizar.
  • mu é a média.
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o valor de z para cada uma das alturas que nos interessam.
Primeiro, para X = 1,54 , m:
z1 = 1,54 - 1,600,30 = -0,060,30 = -0,2
Depois, para X = 1,58 , m:
z2 = 1,58 - 1,600,30 = -0,020,30 approx -0,0667

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses valores de z na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a probabilidade de um valor ser menor que um determinado z.
Primeiro, encontramos Phi(z2) e Phi(z1):
Phi(-0,0667) approx 0,4733
Phi(-0,2) approx 0,4207

Passo 6

Para achar a probabilidade de estar entre 1,54 , m e 1,58 , m, subtraímos as duas probabilidades encontradas:
P(1,54 <= X <= 1,58) = Phi(z2) - Phi(z1) = 0,4733 - 0,4207 = 0,0526

Resposta

A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso medir entre 1,54 , m e 1,58 , m é de aproximadamente 5,26%.

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