Nos Exercícios 13-16, determine o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.
As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades na morte e as causas de morte. Os dados se baseiam no estudo levado a efeito pela revista Tinte sobre as pessoas que morreram vitimadas por armas de fogo durante uma semana.
Idade na Morte Frequência
16-25 22
26-35 10
36-45 6
46-55 2
56-65 4
66-75 5
76-85 1

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o desvio‑padrão dos dados resumidos na tabela de frequências. As informações fornecidas são as classes de idade na morte e as respectivas frequências:
\begin{array}{l|l} \text{Idade na Morte} & \text{Frequência} \\\ \hline 16\text{-}25 & 22 \\\\ 26\text{-}35 & 10 \\\\ 36\text{-}45 & 6 \\\\ 46\text{-}55 & 2 \\\\ 56\text{-}65 & 4 \\\\ 66\text{-}75 & 5 \\\\ 76\text{-}85 & 1 \end{array}
O que preciso entregar é o desvio‑padrão dos dados resumidos nessa tabela.

Passo 2

Primeiro conceito importante: para dados agrupados em classes usamos o ponto médio de cada classe como representante dos valores dessa classe. Vou calcular os pontos médios x de cada classe. O ponto médio de uma classe a\!-\!b é
x=\frac{a+b}{2}.
Calculemos:
\begin{aligned} &\text{para }16\text{-}25:\; x=\frac{16+25}{2}=20{,}5,\\\ &\text{para }26\text{-}35:\; x=\frac{26+35}{2}=30{,}5,\\\ &\text{para }36\text{-}45:\; x=\frac{36+45}{2}=40{,}5,\\\ &\text{para }46\text{-}55:\; x=\frac{46+55}{2}=50{,}5,\\\ &\text{para }56\text{-}65:\; x=\frac{56+65}{2}=60{,}5,\\\ &\text{para }66\text{-}75:\; x=\frac{66+75}{2}=70{,}5,\\\ &\text{para }76\text{-}85:\; x=\frac{76+85}{2}=80{,}5. \end{aligned}

Passo 3

Segundo conceito: para dados com frequências f usamos as somas ponderadas para obter a média. Definições:
N=\sum f\quad(\text{total de observações}),\qquad \bar{x}=\frac{\sum f x}{N}\quad(\text{média}),çõé
onde x é o ponto médio de cada classe e f a frequência dessa classe.
Calcule N:
N=22+10+6+2+4+5+1=50.

Passo 4

Agora calculo f x para cada classe (vou mostrar as contas de forma bem mastigada):
\begin{aligned} &22\cdot20{,}5=451,\\\ &10\cdot30{,}5=305,\\\ &6\cdot40{,}5=243,\\\ &2\cdot50{,}5=101,\\\ &4\cdot60{,}5=242,\\\ &5\cdot70{,}5=352{,}5,\\\ &1\cdot80{,}5=80{,}5. \end{aligned}
Somando:
\sum f x =451+305+243+101+242+352{,}5+80{,}5=1775.

Passo 5

Com isso a média fica:
\bar{x}=\frac{\sum f x}{N}=\frac{1775}{50}=35{,}5.
Interpretação amigável: a idade média (estimada pelos pontos médios das classes) é 35{,}5 anos.

Passo 6

Para o desvio‑padrão populacional usamos a fórmula (para dados agrupados):
\sigma^2=\frac{\sum f x^2}{N}-\bar{x}^{2},
onde \sigma^2 é a variância populacional e \sigma o desvio‑padrão. Vou calcular \sum f x^2. Primeiro calculo x^2 e depois multiplico por f.

Passo 7

Cálculo de f x^2 por classe (mostrando x^2 e o produto):
\begin{aligned} &20{,}5^{2}=420{,}25\quad\Rightarrow\quad 22\cdot420{,}25=9245{,}5,\\\ &30{,}5^{2}=930{,}25\quad\Rightarrow\quad 10\cdot930{,}25=9302{,}5,\\\ &40{,}5^{2}=1640{,}25\quad\Rightarrow\quad 6\cdot1640{,}25=9841{,}5,\\\ &50{,}5^{2}=2550{,}25\quad\Rightarrow\quad 2\cdot2550{,}25=5100{,}5,\\\ &60{,}5^{2}=3660{,}25\quad\Rightarrow\quad 4\cdot3660{,}25=14641{,}0,\\\ &70{,}5^{2}=4970{,}25\quad\Rightarrow\quad 5\cdot4970{,}25=24851{,}25,\\\ &80{,}5^{2}=6480{,}25\quad\Rightarrow\quad 1\cdot6480{,}25=6480{,}25. \end{aligned}

Passo 8

Somando todos os f x^2:
\sum f x^2=9245{,}5+9302{,}5+9841{,}5+5100{,}5+14641{,}0+24851{,}25+6480{,}25=79462{,}5.

Passo 9

Agora aplico a fórmula da variância:
\sigma^2=\frac{\sum f x^2}{N}-\bar{x}^{2}=\frac{79462{,}5}{50}-(35{,}5)^{2}.
Calcule cada termo:
\frac{79462{,}5}{50}=1589{,}25,\qquad (35{,}5)^{2}=1260{,}25.
Logo
\sigma^2=1589{,}25-1260{,}25=329{,}0.

Passo 10

Finalmente o desvio‑padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{329{,}0}\approx 18{,}138\\ (\text{anos}).
Arredondei para três casas decimais; se preferir duas casas fica 18{,}14.

Resposta

\sigma\approx 18{,}138

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