a. Determine a amplitude e o desvio-padrio s da amostra seguinte de rendas (em dólares) de médicos autônomos (com base em dados da American Medical Association):
\begin{array}{llllll}108.000 & 236.000 & 179.000 & 206.000 & 236.000\end{array}
b. Como sâo afetados os resultados da parte (a) se se adiciona um valor constante k a cada renda?
c. Se cada renda da parte (a) é multiplicada por uma constante k, como săo afetados os resultados de (a)?
d. Por vezes, os dados săo transformados, substituindo-se cada valor x por \log x. Para os valores dados de x, determine se desvio-padrăo dos valores de \log x é igual a \log s.
c. Para os dados relativos a temperaturas do Conjunto 2 do Apêndice B ( 12 horas do dia 2 ), x=98,20^{\circ} \mathrm{F} e s=0,62^{\circ} \mathrm{F}. Determine x e s para os dados, após transformar cada Iemperatura para a escala Celsius. [Sug.: C =5(\mathrm{~F}-32) / 9.]

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a amostra de rendas e sobre transformações dos dados. Aqui está o que foi dado e o que é pedido:
  • Dados (rendas, em dólares): \;108000,\;236000,\;179000,\;206000,\;236000.
  • Perguntas:
    a. Determinar a amplitude (alcance) e o desvio-padrão amostral s dessa amostra.
    b. Se somarmos uma constante k a cada renda, como mudam a amplitude e s?
    c. Se multiplicarmos cada renda por uma constante k, como mudam a amplitude e s?
    d. Se transformarmos cada valor x em \log x, o desvio-padrão dos \log x é igual a \log s? (determinar com os valores dados)
    e. (rotulado como “c.” no enunciado) Para dados de temperatura com média \;x=98{,}20^\circ\mathrm{F} e s=0{,}62^\circ\mathrm{F}, transformar para Celsius usando \;C=\dfrac{5(F-32)}{9} e determinar a nova média e o novo s.

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x} (passo preparatório para s).
  • Fórmula da média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde n é o número de observações e x_i cada observação.
  • Aqui n=5. Soma dos valores: \sum x_i = 108000 + 236000 + 179000 + 206000 + 236000 = 965000.
  • Logo a média é \bar{x}=\frac{965000}{5}=193000.
(Explicação rápida: a média é o “centro de massa” dos dados; vamos usá‑la para medir as variações individuais.)

Passo 3

Cálculo da amplitude (range).
  • Definição: amplitude = maior valor - menor valor.
  • Aqui o maior valor é 236000 e o menor é 108000. Então \text{amplitude}=236000-108000=128000.
(Observação: a amplitude mede apenas a extensão bruta dos dados — é sensível a extremos.)

Passo 4

Fórmula do desvio-padrão amostral s e interpretação.
  • Fórmula do desvio-padrão amostral: s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.Aqui n-1 aparece porque estamos usando o estimador amostral da variância (correção de Bessel).
  • Interpretação: cada termo (x_i-\bar{x}) é quanto o i-ésimo valor difere da média; elevando ao quadrado evitamos cancelamentos e damos peso maior a grandes desvios; soma e divisão por n-1 dão a variância amostral, e a raiz volta para as mesmas unidades dos dados.

Passo 5

Cálculo explícito dos desvios, quadrados e s.
  • Já temos \bar{x}=193000. Calculemos x_i-\bar{x} e (x_i-\bar{x})^2: \begin{aligned} 108000-\bar{x} &= 108000-193000 = -85000,\\\\ 236000-\bar{x} &= 236000-193000 = 43000,\\\\ 179000-\bar{x} &= 179000-193000 = -14000,\\\\ 206000-\bar{x} &= 206000-193000 = 13000,\\\\ 236000-\bar{x} &= 43000\\ \text{(de novo)}. \end{aligned}
  • Quadrados: \begin{aligned} (-85000)^2 &= 7225000000,\\\\ 43000^2 &= 1849000000,\\\ (-14000)^2 &= 196000000,\\\\ 13000^2 &= 169000000,\\\\ 43000^2 &= 1849000000. \end{aligned}
  • Soma dos quadrados: \sum (x_i-\bar{x})^2 = 7225000000 + 1849000000 + 196000000 + 169000000 + 1849000000 = 11288000000.
  • Variância amostral: s^2=\frac{11288000000}{n-1}=\frac{11288000000}{4}=2822000000.
  • Desvio-padrão amostral: s=\sqrt{2822000000} \approx 53122{,}9.Arredondando para unidade de dólar: s\approx 53123.
(Explicação: fizemos passo a passo para que você possa repetir sem calculadora — somas e quadrados são as operações fundamentais.)

Passo 6

Resposta à parte (b): soma de uma constante k a cada renda.
  • Se cada x_i vira x_i' = x_i + k, então a nova média \bar{x}'=\bar{x}+k.
  • Para amplitude: \text{amplitude}'=(\max x_i + k)-(\min x_i + k)=\max x_i-\min x_i. Logo a amplitude NÃO muda.
  • Para s: os desvios são (x_i'+- \bar{x}')=(x_i+k)-(\bar{x}+k)=x_i-\bar{x}, logo os desvios não mudam e nem os seus quadrados. Portanto s também NÃO muda.
(Resumo: adicionar uma constante desloca todos os valores, não altera dispersão.)

Passo 7

Resposta à parte (c): multiplicar cada renda por uma constante k.
  • Se cada x_i' = k x_i, então a nova média é \bar{x}'=k\bar{x}.
  • A nova amplitude é \text{amplitude}'=\max(k x_i)-\min(k x_i)=k(\max x_i-\min x_i). Se k for negativo, a amplitude é |k|(\max-\min). Em geral a amplitude é multiplicada por |k|.
  • Para s: os desvios ficam x_i'-\bar{x}'=k(x_i-\bar{x}). Então s'=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (k(x_i-\bar{x}))^2}=\sqrt{k^2\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2}=|k| s.Logo s é multiplicado por |k|.
(Resumo: multiplicar por k escala a dispersão por |k|.)

Passo 8

Parte (d): transformar cada valor em \log x. Pergunta: o desvio-padrão dos \log x é igual a \log s?
  • Teoria curta: em geral, o operador “desvio‑padrão” não comuta com \log. Ou seja, s(\log x) não é igual a \log(s(x)) na maioria dos casos.
  • Vamos calcular numericamente para provar isso. Vou usar logaritmo natural \ln (a conclusão independe da base, apenas a escala numérica muda).
  • Valores de \ln x (usei aproximações): \begin{aligned} \ln(108000) &\approx 11{,}5899,\\\ \ln(236000) &\approx 12{,}3709,\\\ \ln(179000) &\approx 12{,}0939,\\\ \ln(206000) &\approx 12{,}2369,\\\ \ln(236000) &\approx 12{,}3709. \end{aligned}
  • Média dos \ln x: \overline{\ln x}\approx 12{,}1325.
  • Desvios ao quadrado e soma (passos omitidos por brevidade mas feitos com as mesmas regras do cálculo de s): \sum (\ln x_i-\overline{\ln x})^2 \approx 0{,}420486.Portanto o desvio-padrão amostral das \ln x é s_{\ln}=\sqrt{\frac{0{,}420486}{4}}\approx 0{,}3244.
  • \ln(s), com s\approx 53122{,}9, é \ln(s)\approx \ln(53122{,}9)\approx 10{,}8803.
  • Comparando: s_{\ln}\approx 0{,}3244 e \ln(s)\approx 10{,}8803. Não são iguais (nem de longe).
(Conclusão: transformar com \log altera completamente a escala e a forma dos dados; o desvio‑padrão dos \log x NÃO é igual ao \log do desvio‑padrão original.)

Passo 9

Transformação de temperaturas F → C (última parte).
  • Fórmula dada: \displaystyle C=\frac{5(F-32)}{9}.
  • Se cada valor F_i é transformado por C_i=\dfrac{5(F_i-32)}{9}, então a operação é linear do tipo C_i = a F_i + b com a=\dfrac{5}{9} e b=-\dfrac{160}{9}. Regras anteriores implicam:
    • nova média: \bar{C}=a\bar{F}+b,
    • novo desvio-padrão: s_C=|a| s_F (o termo constante b não altera s).
  • Aplicando com \bar{F}=98{,}20^\circ\mathrm{F} e s_F=0{,}62^\circ\mathrm{F}: \bar{C}=\frac{5}{9}(98{,}20-32)=\frac{5}{9}\times 66{,}20=\frac{331{,}0}{9}\approx 36{,}7778^\circ\mathrm{C}.
s_C=\frac{5}{9}\times 0{,}62=\frac{3{,}10}{9}\approx 0{,}3444^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando de forma prática: \bar{C}\approx 36{,}78^\circ\mathrm{C} e s_C\approx 0{,}34^\circ\mathrm{C}.
(Explicação: multiplicar por 5/9 reduz a dispersão na mesma proporção; subtrair 32 desloca, não altera dispersão.)

Resposta

a. amplitude =128000
a. desvio-padrão amostral s\approx 53123
b. Ao somar uma constante k a cada renda: amplitude inalterada; s inalterado.
c. Ao multiplicar cada renda por k: nova amplitude =|k|\times 128000; novo desvio-padrão =|k|\times s.
d. Não — o desvio-padrão dos \log x não é igual a \log s. Numericamente, com log natural: s_{\ln}\approx 0{,}3244 e \ln(s)\approx 10{,}8803 (portanto diferentes).
c. (temperaturas) \bar{C}\approx 36{,}78^\circ\mathrm{C}
c. (temperaturas) s_C\approx 0{,}34^\circ\mathrm{C}

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