O alumínio cristaliza em uma estrutura cúbica de faces centradas com uma célula unitária de aresta 404,6 pm.
Calcule a distância entre os planos sucessivos da família \{111\}.
Escolha uma opção:
◯ 122 pm
◯ 234 pm
◯ 223 pm
◯ 182 pm

Passo 1

O enunciado fornece claramente os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Dado: a aresta da célula unitária cúbica é \,a=404{,}6\\ \mathrm{pm}\, (peguei esse valor do enunciado).
  • Pedido: calcular a distância entre planos sucessivos da família \{111\} (ou seja, o espaçamento interplanar d_{111}).
    Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que significa "família \{111\}" e “distância entre planos sucessivos”:
  • A família \{111\} refere-se a todos os planos cujos índices de Miller são (1,1,1) e seus equivalentes por simetria (planos paralelos entre si).
  • A “distância entre planos sucessivos” é o espaçamento interplanar d_{hkl}: a distância mínima entre dois planos paralelos consecutivos da família (hkl).
    Vou usar a fórmula padrão para espaçamento interplanar em redes cúbicas (veja passo seguinte).

Passo 3

Fórmula para o espaçamento interplanar em uma rede cúbica:
  • Para uma rede cúbica, o espaçamento entre planos de índices (hkl) é dado por
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • a é a aresta da célula unitária (aqui em \mathrm{pm}).
  • h,k,l são os índices de Miller do plano.
  • O denominador \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} é o comprimento relativo do vetor normal ao plano em unidades da rede cúbica; dividir a por esse fator dá a separação entre planos paralelos consecutivos.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso \{111\}:
  • Para (h,k,l)=(1,1,1) tem-se h^{2}+k^{2}+l^{2}=1^{2}+1^{2}+1^{2}=3.
  • Substituindo:
d_{111}=\frac{a}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Substituindo o valor numérico de a:
a=404{,}6\\ \mathrm{pm}\quad\Rightarrow\quad d_{111}=\frac{404{,}6}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{pm}.
Agora calcular \sqrt{3} aproximadamente:
\sqrt{3}\approx1{,}73205.

Passo 6

Dividindo para obter o resultado numérico:
d_{111}\approx\frac{404{,}6}{1{,}73205}\\ \mathrm{pm}\approx233{,}6\\ \mathrm{pm}.
Arredondando para a opção disponível, isso corresponde a 234\\ \mathrm{pm}.

Resposta

234\\ \mathrm{pm}

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